 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Многошаговые методы Адамса
|
|
В отличие от одношаговых методов Рунге-Кутта, эти методы позволяют найти решение с использованием известных решений в нескольких соседних точках.
Итак, предположим, что с помощью какого-либо метода уже получена таблица значений:
x 0, x 1, x 2, …, xn;
y 0, y 1, y 2, …, yn.
Пусть шаг постоянен, т.е. xn – xn– 1 = h.
Найдем значение в точке xn+ 1. Проинтегрируем исходное уравнение (6.1):
и аппроксимируем подынтегральную функцию одного переменного f (x,y (x)) интерполяционным многочленом, который в узлах xn, xn– 1, xn –2,… принимает соответствующие значения f (xn,y (xn)), f (xn– 1 ,y (xn –1)), и т.д., например, интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад Nn (x).
Для x = xn + ht
где 
Здесь 
– конечная разность k -го порядка 
.
Таким образом, получаем экстраполяционную формулу Адамса в разностном виде:
yn+ 1 =yn+h (fn + 
D1 fn– 1 + 
D2 fn– 2 + 
D3 fn– 3 +
+ 
D4 fn– 4 + 
D5 fn– 5 + …)+ 
,
где
. (6.10)
Получим конкретные формулы Адамса в ординатном виде.
1. Ограничимся одним слагаемым в сумме (k =0):
yn+ 1 = yn + hfn. (6.11)
Получили формулу Эйлера. Формула первого порядка. Локальная погрешность 
.
2. Ограничимся двумя слагаемыми в сумме (k =1):
yn+ 1 = yn + hfn + 
D1 fn– 1 = yn + hfn + (fn – fn– 1) =
= yn + (3 fn – fn– 1). (6.12)
Формула второго порядка. Локальная погрешность 
.
3. Ограничимся тремя слагаемыми в сумме (k =2):
yn+ 1 = yn + h (fn + D1 fn– 1 + D2 fn– 2) = yn + h [ fn + (fn – fn –1) +
+ (fn – 2 fn –1 + fn –2)] = yn + 
(23 fn – 16 fn– 1 + 5 fn –2) (6.13)
Формула третьего порядка. Локальная погрешность 
И так далее.
Указанные формулы называются явными формулами Адамса. Для того чтобы ими пользоваться, необходимо предварительно узнать недостающие начальные значения.
Например, в формуле Адамса третьего порядка (6.13) для n =2
y 3 = y 2 + (23 f 2 – 16 f 1 + 5 f 0),
необходимо знать (x 0, y 0), (x 1, y 1), (x 2, y 2). Эти недостающие начальные значения могут быть найдены с помощью одношаговых методов, например методом Рунге-Кутта соответствующей точности.
Это можно отнести к недостаткам методов Адамса. В чем же их преимущество, например, по сравнению с методом Рунге-Кутта?
Возьмем, например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка. На каждом шаге требуется четыре раза вычислить значение правой части. В методе же Адамса четвертого порядка:
yn+ 1 = yn + 
(55 fn – 59 fn– 1 + 37 fn– 2 – 9 fn– 3), (6.14)
с 
требуется только одно вычисление правой части на каждом шаге, а именно fn. Другие значения найдены на предыдущих шагах.
Отметим, что этот способ не единственный для построения многошаговых формул.
Например, если представить исходное уравнение в виде
и также заменить подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Ньютона, то получается формула вида
или, после интегрирования,
,
называемая экстраполяционной формулой Нистрёма [11].
Частные случаи:
yn+ 2 =yn+ 2 hfn+ 1(второй порядок точности);
yn+ 3 =yn+ 1 + 
h (7 fn+ 2 – 2 fn+ 1 + fn) (третий порядок точности).
Или, например, так:
Интегрируя и оставляя 3 слагаемых в правой части, получим формулу Милна 4-го порядка:
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 606 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
