Метод секущих

Еще одной модификацией метода Ньютона, приводящей к отказу от непосредственного вычисления производных, является метод секущих.

Заменим производную первой разделенной разностью. Получим формулу:

. (5.10)

Для начала процесса надо задать x ₀ и x ₁. Такие итерационные процессы называют двухшаговыми (рис.5.8).

Рис.5.8 – Геометрическая интерпретация метода секущих

Достоинства: в методе Ньютона на каждом шаге нужно вычислить и функцию и производную, в методе секущих – только функцию. Поэтому при одинаковом объеме вычислений в методе секущих можно сделать вдвое больше итераций и получить более высокую точность.

Недостатки: в знаменателе – разность значений функций. Вдали от корня это несущественно, но вблизи от корня значения функции малы и близки друг другу, поэтому может произойти потеря значащих цифр, и процесс может «раскачаться».

От этой раскачки можно подстраховаться так называемым приемом Гарвика. Выбираем не очень малое e, ведем итерации до выполнения условия |x_{k+ 1} – x_k|< e, а затем продолжаем расчет до тех пор, пока этот модуль разности убывает. При первом же возрастании это означает начало «раскачки», расчет прекращают и предыдущее значение принимают за корень.