Метод Ньютона. Пусть известно, что на [a, b] есть корень x* уравнения f(x)=0, причем f′(x) и f″(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки на [a

Пусть известно, что на [ a, b ] есть корень x_* уравнения f (x) = 0, причем f′ (x) и f″ (x) непрерывны и сохраняют определенные знаки на [ a, b ].

Пусть x_k – некоторое приближенное значение корня. Тогда следующее приближение можно найти следующим образом (рис.5.6).

Рис.5.6 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Пусть = x_k + h, где h – малая величина. Применяем разложение в ряд Тейлора: f () = f (x_k + h) » f (x_k) + h f′ (x_k) = 0, т.е. . Таким образом, следующее приближение к корню будет

. (5.8)

Это итерационная схема метода Ньютона (или метода касательных).

Геометрическая интерпретация: замена на каждой итерации графика y = f (x) касательной к нему.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если положить j (x) =x – f (x) /f′ (x).

Тогда, используя результаты пункта 5.1.3, можно записать условие сходимости итерационного процесса: |j′ (x) | = |f f″/ (f′) ²| £ q < 1.

Если начальное приближение выбрано достаточно близко к корню, то ньютоновские итерации сходятся, когда |j″ (х _*) |< 1, при этом вдали от корня вышеприведенное неравенство может и не выполняться.

«Хорошим» начальным приближением x ₀ является то, для которого выполняется неравенство f (x ₀) f″ (x ₀) > 0. Т.е. в качестве исходной точки x ₀можно выбрать тот конец интервала [ a, b ], которому отвечает ордината того же знака, что и знак f″ (x ₀).

Примеры «плохого» поведения метода Ньютона показаны на рис. 5.7.

Рис.5.7 – «Плохое» поведение метода Ньютона:

а) f¢ (x_i) = 0, и следующее приближение не определяется;

б) осцилляции; в) расходимость

В качестве модификации метода Ньютона можно предложить вычисление производных не на каждом шаге итерационного процесса, а только на первом. Найденное ее значение используют в дальнейшем:

. (5.9)

Это соответствует замене касательных (рис.5.6) параллельными к первой касательной в точке x = x ₀.

Данный прием снижает скорость сходимости, но зато избавляет от необходимости вычисления производных на каждом итерационном шаге.