A1 O у М

S х

М

Рисунок 4.15 – Схема для определения нормальных напряжений

Составим следующие уравнения равновесия:

1) Сумма проекций всех сил на оси y равна нулю.

åР_y=0 _Аòs·dA=0.

С учетом формулы (4.7) имеем:

E/r·_АòydA=0. (4.8)

Выражение _АòydA = S_x называется статистическим моментом сечения. Его размерность см³, м³. Из формулы (4.8) следует, что нейтральная линия OX проходит через центр тяжести сечения и делит его на равные площади.

2) Сумма проекций всех сил на ось X равна нулю.

SP_x=0; _АòsdA = 0; _А1òsdF – _А2òsdF = 0;

A₁ = A₂ . (4.9)

3) Сумма моментов относительно оси Х равна нулю.

SМ_z = 0; _Аòs·хdA = 0.

С учетом (4.7)

Е/r·_Аòху dA = 0. (4.10)

Выражение _Аòху dA называют центробежным моментом инерции. Его размерность см⁴, м⁴. Из формулы (4.10) следует, что центробежный момент инерции равен нулю. Следовательно, оси X, Y являются главными центральными осями.

4) Сумма моментов относительно оси Х равна изгибающему моменту М.

SМ_х = М; _АòsуdA = M;

Е/r·_Аòу²dA = M_х. (4.11)

Выражение

_Аòу²dA (4.12)

получило название момента инерции сечения. Его размерность см⁴, м⁴. Имеем:

Е/r·I = M или Е/r = M / I, из (4,7) имеем:

Е/r = s/у; s/у = M/у или s = M/I_x ·у. (4.13)

По формуле (4.13) можно определить напряжение в любой точке по высоте сечения.

В случае изгиба, когда присутствует поперечная сила, сечения не будут плоскими. Они будут искривляться. На опытных данных показано, что искривления небольшие, поэтому применяют формулу чистого изгиба.

Отношение

I_x /y_max = W_x (4.14)

называют моментом сопротивления. Его размерность см³, м³. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Максимальные напряжения:

s_max = M_max /W_x. (4.15)

Условия прочности при кручении:

s_max = M_max / W_x <=[s]. (4.16)

Для определения напряжений в любой точке необходимо уметь определять моменты инерции и моменты сопротивления любого сечения. Максимальный изгибающий момент, как правило, определяется по эпюре изгибающих моментов.

4.9 Геометрические характеристики сечений при изгибе

Следует помнить, что для стандартных профилей (уголки, двутавры, швеллеры и т.д.) все геометрические характеристики имеются в справочной литературе. Определим геометрические характеристики других сечений:

1) Прямоугольное сечение (рис.4.16).

у dА

dy

h у

x

А

b

Рисунок 4.16 – Прямоугольное сечение

На расстоянии У от нейтральной оси Х выделим элемент dA, ширина элемента b, высота dу.

I_x = _Аòу²dA; dA = b = dy;

I_x = b _Аòу²dy; I_x = -_h/2ò^h/2y²dA = bh³/12; (4.17)

W_x = I_x/h·2 = bh²/6. (4.18)

Аналогично

I_y = hb³/12. (4.19)

2) Треугольное сечение (рис 4.17): у

у

х₁

dA b_x dy

h

· x_c

ц.т.

х₂

b

Рисунок 4.17 – Треугольное сечение

b_x = b/h·y; dA = b/h·y·dy; I_x1 = ₀ò^h у²·b/h ydy;

I_x1 = bh³/4. (4.20)

Момент инерции относительно центральной оси, параллельной основанию.

Для вывода этой формулы воспользуемся формулой для параллельных осей:

I_xc = Ix₁ – (2h/3)²A = bh³/4 – 4h²/9·bh/2;

I_xc = bh³/36. (4.21)

Момент инерции относительно оси, проходящей через основание (рис.4.18):

у

у

dA b_x dy

h

x_c

А

х₂

b

Рисунок 4.18 – Треугольное сечение

I_x2 = _Aò y²dA = _Aòy²b_xdy; b_x/b = h – y/h; b_y = b(h - y)/h;

I_x2 = ₀ò^hb·(1 – y/h)y²dy = bh³/3 – bh³/4; I_x2 = bh³/12. (4.22)

Аналогично получим

I_y = hb³/48. (4.23)

Очевидно, что центральная ось Х не является осью симметрии, следовательно, моменты сопротивления для крайних волокон будут иметь различные значения (рис. 4.19).

у

С s_c

--

y₂^max + s

h

x_c

А y₁^max –

А

b s_A

Рисунок 4.19 – К определению момента сопротивления и напряжений

Момент сопротивления для точки С:

W_xc = I_xc /(2/3)·h = bh³·3 / 36·2·h = bh² / 24. (4.24)

Для точки А:

W_xА = bh³ / 36 ·(1/3) h = bh² / 12. (4.25)

Следовательно,

s_с = M / W_с = (М / bh²) ·24;

s_А = M / W_А = (М / bh²) · 12.

3) Круглое сечение (рис.4.20):

I_x = I_y = pD⁴ / 64; (4.26)

W_x = W_y = 0,1D⁴. (4.27)

y

x

D

Рисунок 4.20 – Круглое сечение

4) Полое сечение (рис.4.21):

I_x^нетто = bh³ / 12 – b₁h₁³ / 12; W_x = (I_x^нетто / h)·2;

I_y^нетто = hb³ / 12 – h₁b₁³ / 12; W_y = (I_y^нетто / b)·2.

y

h/2

h h₁

x

h/2

b₁

b

Рисунок 4.21 – Полое сечение

4.10 Моменты инерции для параллельных осей

Рассмотрим такой случай, когда необходимо определить моменты инерции относительно параллельных осей (рис.4.22).

y₁ y

x₁ dA

а y

x

O x

·

А b y₁

x₁

O₁

Рисунок 4.22 – К определению моментов инерции относительно параллельных осей

Рассмотрим сечение, у которого площадь А, центральные оси X и Y. На расстоянии y от оси Х и расстоянии x от оси Y выберем площадку dА.

Проведем параллельные оси Х₁ и Y₁ на расстоянии b и a от осей X и Y и определим моменты инерции относительно осей X₁, Y₁:

I_x1 = _Aò y₁² dA =_A ò(y + b) dA = _Aò y ²dA + 2b_Aò ydA + b² _Aò dA.

Выражение

_Аò y dA – статический момент сечения относительно центральных осей, равный нулю

(см. выражение 4.8).

Тогда

J_x1 = J_x + b2·A. (4.28)

Момент инерции относительно параллельной оси Х₁ равен моменту инерции сечения относительно собственной центральной оси Х плюс произведение b²·А, где А – площадь сечения фигуры. Аналогично

Jy₁ = J_y + a²·A. (4.29)

4.11 Моменты инерции сложных сечений

Определим моменты инерции сечения, представленного на рисунке 4.23.

A₁ y

d

A₂

s_max

x₂ y_2max

b₂ s

h x₁

y₂ x_c

y₁ b₁ y_1max

y_c

x

b

Рисунок 4.23 – Схема для определения момента инерции сложного сечения

Разбиваем сложное сечение на две фигуры: прямоугольник, с площадью поперечного сечения А₁, и круг, с площадью сечения А₂. Определим центр тяжести сечения относительно произвольной оси Х. Положение оси Х_с:

Х_с = (А₁у₁ + А₂у₂)/(А₁ + А₂). (4.30)

Положение оси Х_с определяет координата у_с. Затем определяем расстояние между осями простых фигур и центральной осью Х_с. Это величины b₁ и b₂. Пользуемся выражениями для параллельных осей(4.28) и (4.29):

I_xc = bh³/12 + b₁A₁ – (pd⁴/64 + b²₂A₂),

I_xc = hb³/12 – pd⁴/64.

Пример 4.4. Для сложного сечения, представленного на рисунке 4.24, определить моменты инерции сечения. Размеры в миллиметрах.

y_c

1

y_c2 = 10

y_от х₂

3 50

60 R40 ц.т

120 · х_с

0 43 х_с3 =17

h₂

b₂ = 80

120

Рисунок 4.24 – Сложное сечение

Определяем центры тяжести фигур 2 и3.

1) Для треугольника (2):

y_c2 = 1/3h = 1/3·3 = 1 см = 10 мм.

Для полукруга (3):

х_с3 = 0,424R = 0,424·40 = 17 мм.

2) Покажем расстояние от центральных осей фигур (2) и (3) до главных центральных осей всего сечения.

3) Определяем главные центральные моменты инерции всего сечения. Обе главные оси проходят через центр тяжести сечения:

I_xc^нетто = 12·12³/12 – 1/2·(pR)⁴/64·2 – (b₂h₂³/36 + 5²·А₂)2,

где b₂h₂³/36 – момент инерции треугольника относительно оси Х₂, R – радиус окружности.

I_xc^нетто = 12·12³/12 – 1/2·3,14(2·4)⁴/64·2 – (8·3³/36 + 5²·1/2·8·3)2 = 915 см⁴,

I_yc^нетто = 12·12³/12 – h₂b₂³/48·2 – [1/2·p(2R)⁴/64 + 4,3·А₃]2,

где h₂b₂³/48 – момент инерции треугольника относительно оси Y_с, А₃ – площадь полукруга:

А₃ = pR²/2;

I_yc^нетто = 12·12³/12 – 3·8³/48·2 – [1/2·3,14(2·4)⁴/64 + 4,3·3,14·4²/2]2 = 864 см⁴.

Пример 4.5. Для заданного сечения, состоящего из двутавра и уголка, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести сечения;

3) определить направление главных центральных осей;

4) найти моменты инерции относительно главных центральных осей.

Дано: двутавр Ö 22; равнобокий уголок 125^.125^.12.

Решение: из таблиц сортамента выпишем исходные данные:

двутавр Ö 22:

А₁ = 30,6 см²,

J_x1 = 2550 см⁴, J_y1 = 157,0 см⁴;

уголок 125^.125^.12:

А₂ = 28,9 см²,

J_x2 = J_y2 = 422 см⁴,

J_x0 = 670 см⁴,

J_y = 174 см⁴.

Центробежный момент инерции уголка:

J_x2y2 = (J_x0 – J_y) sin 2a / 2 = (670 – 174) sin(– 2a) / 2 = – 284 см⁴; т.к. sin(– 2·45°) = – 1.

y₀ y₂ x₀

А₂

45°

x₂

3,53

Рисунок 4.25 – Уголок равнобокий

2,33 y_c y₁ 1,2

y₀ 3,53

1,2

12,5 А₂

3,53

14,53 7,53

х₆

1,2

11°

ц.т. 7,0 х_с

22,0

х₁

11,0 0,87 А₁

11,0

М 1: 2

Рисунок 4. 26 – Сложное сечение. Размеры указаны в сантиметрах

Определим центр тяжести сечения относительно Х₁, У₁:

А₁ + А₂ = 30,6 + 28,9 = 59,5 см²;

y_с = (А₁х₁ + А₂х₂)/(А_{1 +} А₂) = (0 + 28,9·14,53)/59,5 = 7 см;

x_с = (А₁у₁ + А₂у₂)/(А₁ + А₂) = (0 – 28,9·3,53)/59,5 = – 1,2 см.

Определим моменты инерции относительно центральных осей:

I_xc = I_x1 + b²₁A₁ + I_x2 + b²₂A₂ = 2550 + 7²·30,6 + 422 + 7,53³·28,9 = 6110 см⁴;

I_yc = I_y1 + a²₁A₁ + I_y2 + a²₂A₂ = 157 + 1,2²·30,6 + 422 + 156,89 = 780 см⁴.

Центробежный момент инерции сечения:

I_xcyc = I⁽¹⁾_xcyc + a₁b₁A₁ + I⁽²⁾_xcyc + a₂b₂A₂ = 0 + 7(–1,2)30,6 – 248 + 7,53(–2,33)28,9 = – 1012 см⁴.

Определим положение главных осей:

tg2a = – 2 I_xcyc/(I_xc – I_yc) = 2·1012/(6110 – 780) = 0,379;

2a = – arc tg 0,379; 2a = 22⁰; a = 11⁰.

Величины главных центральных осей инерции:

I_x0 = (I_xc + I_yc)/2 + 1/2Ö (I_xc + I_yc)² + 4 I²_xcyc = (6110 + 780)/2 + 1/2Ö (6110 – 780)² + 4·1012² =

= 3445 + 2850 = 6295 см⁴;

I_x0 = (I_xc + I_yc)/2 – 1/2Ö (I_xc + I_yc)² + 4 I²_xcyc = (6110 + 780)/2 – 1/2Ö (6110 – 780)² + 4·1012² =

= 3445 – 2850 = 595 см⁴.