Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения

1) Выполняется гипотеза плоских сечений.

2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.

3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Покажем, что деформация изменяется по линейному закону. Рассмотрим участок балки длиной dz, подвергающийся изгибу (рис. 4.14):

da

а в М М

нейтр. 0 у 0 а^/ r в^/

слой c^/ d^/

с d

а) б) У

Dz

Dz

Рисунок 4.14 – К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

cd = dz = 0^/0^/; 0^/0^/ = r dz.;

c^/d^/ = (r + у)da – абсолютное удлинение; l = c^/d^/ – cd = (r + у)da – rda = у·da;

e = l / dz = уda / rda;

e = у / r. (4.6)

Из формулы (4.6) вытекает, что чем больше у, тем больше деформации.

По закону Гука имеем: s = e · Eили с учетом (4.6):

s = E · у / r. (4.7)

Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.

Определяем нормальные напряжения через внешние силовые факторы. Для этого рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии (рис.4.15).

М

у

М

А₂

х

dA

s