Контроль построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Контроль построения эпюр основан на выражениях (4.3) – (4.5). Согласно формулам приходим к следующим заключениям:

1) В тех местах, где действует сосредоточенная сила, на эпюре поперечных сил имеется скачок на величину этой силы, а на эпюре изгибающих моментов – излом (рис.4.7).

А Р В

а

L

Q

А + + В Р

– –

М_max=A·a Q

Рисунок 4.7 – Схема для контроля построения эпюр

М

а В

A

Q

+

А – –

–

М

М + +

– –

A·a

Рисунок 4.8 – Схема для контроля построения эпюр

2) В тех местах, где действует момент М, на эпюре моментов будет скачок на величину это-го момента, а на эпюре поперечных сил это не отражается (рис.4.8).

3) В тех местах, где действует постоянная распределенная нагрузка, эпюра изгибающих моментов ограничена квадратной параболой, а эпюра поперечных сил – наклонной линией (рис. 4.9).

A = ql / 2 1 q B = ql / 2

z₁

L

ql / 2 Q

+

–

M M_max =ql² / 8

+

z^* = l / 2

Рисунок 4. 9 – Схема для контроля построения эпюр

4) В тех местах, где эпюра поперечных сил плавно (без скачков) меняет знак с плюса на минус или наоборот, на эпюре моментов будет экстремум (рис.4.9). Необязательно, что это наибольший момент на рассматриваемом пролете. В некоторых задачах это наименьший момент.

Однако исследовать сечение при z^* обязательно и необходимо. Обратимся к задаче на рисунке (4.9).

Опорные реакции:

А = B = ql / 2.

Поперечная сила в сечении 1-1:

Q_{1-1 =} A - qz₁; 0 = < z₁ = < l;

z₁ = 0; Q = ql / 2; z₁ = l; Q = ql / 2 - ql; Q = -ql / 2.

Определим z^*:

0 = ql / 2 - qz^*; z^* = l/2.

Изгибающие моменты:

M_1-1 = Az₁ - qz₁² / 2; z₁ = 0; M = 0.

z₁ = z^* = l / 2; M = ql² / 4 – q(l/2)² / 2 = ql² / 8.

5) В том случае, когда равномерно распределенная нагрузка направлена вниз, т.е.

d²M/dz²<0,

выпуклость кривой, ограничивающей эпюру изгибающего момента, направлена вверх – навстречу направлению действия распределенной нагрузки, если эпюра М строится на сжатом волокне и обращена вниз – по направлению действия нагрузки q, если эпюра М строится на растянутом волокне. При обратном направлении нагрузки (вверх) выпуклость кривой тоже имеет обратное направление.

6) На тех участках балки, где эпюра Q положительна, изгибающий момент с увеличением координаты z увеличивается, так как

dM / dz = Q > 0,

и, наоборот, там, где Q < 0, изгибающий момент уменьшается. На участках, где q = 0, изгибающий момент имеет постоянное значение.

Пример 4.1. Деревянная консольная балка, жестко защемленная одним концом, нагружена сосредоточенной силой P, моментом M и распределенной нагрузкой q(рис 4.10).

Определить внутренние усилия по участкам балки, построить эпюры Q и M, определить наибольшие нормальные и касательные напряжения и сравнить их с допускаемыми. Допускаемые напряжения для дерева (сосна) на растяжение и сжатие при изгибе [s] = 12 МПа и на сдвиг [t] = 8 МПа.

Исходные данные:

a = 1,5 м, b = 1 м, с = 0,5 м,

P = 0,5 Кн, q = 0,4 кН/м, m = 0,2 кг

m

а) q 3 2 1 z₁

180мм

3 2 z₂ 1 Р

z₃ 120мм

а в с

0,5

б)

+ z₃^*

–

0,5 0,5

0,762

0,75

0,55 0,25

0,45

в)

+ +

Рисунок 4.10 – Схема к расчету: а) заданная нагрузка; б) эпюра поперечных сил; в) эпюра изгибающих моментов

Определяем внутренние усилия Q и М в поперечных сечениях балки методом сечения. Для этого условно рассекаем балку в произвольном месте каждого участка плоскостями 1-1, 2-2, 3-3. Из условия равновесия отсеченной части балки определяем поперечную силу Q и изгибающий момент М на каждом участке.

Сечение 1-1:

Q_z1 = – Р, М _z1 = Р z_, 0 < z < c.

Сечение 2-2:

Q_z2 = – Р + q(z₂ – c), M_z2 = P z₂ – q(z₂ – c)²/2, c <z₂ < b + c

Сечение 3-3:

Q_z3 = – P + q(z₂ – c), M_z3 = P z₃ – q(z₃ – c)²/2 + m, b + c < z₃ < a + b + c

Вычисляем значения Q и M:

I участок:

z₁ = 0. Q_z1 = – 0,5 кН, М_z1 = 0

z₁ = 0,5 м Q_z1 = – 0,5 кН, М_z1 = 0,5 · 0,5 = 0,25 кН^.м.

II участок:

z₂ = 0,5 м Q_z2 = – 0,5 кН, M_z2 = 0,5 · 0,5 = 0,25 кН^.М

Z₂ = 1,5 м Q_z2 = 0,5 + 0,4(1,5 – 0,5) = – 0,1 кН M_z2 = 0,5 ·1,5 – 0,4(1,5 – 0,5)²/2 = 0,55 кН^.м.

Значение изгибающего момента вычисляем также для середины второго участка:

z₂ = 1 м M_z2 = 0,5 1 – 0,4(1 – 0,5)²/2 = 0,45 кН^.м.

III участок:

z₃ = 1,5 м Q_z3 = - 0,5 + 0,4(1,5 – 0,5) = – 0,1 кН;

M_z3 = 0,5 ·1,5 – 0,4(1,5 – 0,5)²/2 +0,2 = 0,75 кН^.м.

z₃ = 3 м Q_z3 = - 0,5 + 0,4(3,0 – 0,5) = 0,5 кН;

M_z3 = 0,5 · 3 – 0,4(3 – 0,5)²/2 + 0,2 = 0,45 кН^.м.

Значение изгибающего момента вычисляем также и для середины третьего участка:

z₃ = b + c +a/2 = 2,25 м; M_z3 = 0,5 ·2,25 – 0,4(2,25 – 0,5)²/2 + 0,2 = 0,71 кН^.м.

Определяем максимальное значение изгибающего момента. Для этого определим значение z₃^*, при котором имеет место M_max. В этом сечении поперечная сила равна нулю.

Q_z3 = - P + q(z₃^* - c) = 0, тогда z^*₃ = (P + qc)/ = (0,5 + 0,4 ·0,5)/0,4 = 1,75 м.

Вычислим значение изгибающего момента M_max:

M_max = 0,5 ·1,75 – 0,4(1,75 – 0,5)²/2 +0,2 = 0,762 кН^.м.

Момент сопротивления прямоугольного сечения равен:

W_x = bh²/6 = 12 ·18²/6 = 648 см³ = 648 ·10^-6 м³.

Нормальное напряжение в сечении, наиболее нагруженным изгибающим моментом M_max равно:

s = M_max/W_x = 0,762 ·10³ ·10⁶/648 = 1,18 МПа.

Касательные напряжения вычисляем по формуле Журавского, которая для прямоугольного сечения имеет вид:

t = 3/2 ·Q/bh = 3/2 ·0,5 ·10³/0,12 ·0,18 = 0,3 МПа.

Прочность балки обеспечена как по нормальным, так и по касательным напряжениям.

Пример 4.2. Для стальной двухопорной балки (рис.4.11) определить внутренние усилия по участкам, построить эпюры Q и M и подобрать двутавровое сечение по максимальному изгибающему моменту M_max. Проверить балку на прочность по касательным напряжениям. Допускаемые напряжения принять:[s] = 160 МПа, [t] = 80 МПа.

Исходные данные: a = 3 м, b = 1 м, c = 1,5 м,

m = 5 кН м, P = 4 кН, q = 2 кН/м.

m

R_A 1 q 2 R_b 3 P

B

A

a) 1 2 3

z₁ z₃

z₂

a b c

3,5 4 4

+

б) +

–

Z1* 2,5 2,5

3,06

в)

1,5

+

3,5 –

Рисунок 4.11 – Схема к расчету: а) заданная нагрузка; б) эпюра поперечных сил; в) эпюра изгибающих моментов

Определяем опорные реакции, используя уравнения равновесия:

SМ_А = 0. R_В (а + в) – q (а²/2) + m – Р (а + в + с) = 0.

SМ_В = 0. – R_А (а + в) + qа (а/2+в) + m – Рс = 0.

R_B = (qа²/2 – m + Р (а + в + с))/(а + в) = 6,5 кН.

R_А = (qа(а/2 + в) + m – Рс)/(а + в).

Правильность определения реакций на опорах проверяем, проектируя все силы на вертикальную ось:

SУ = 0 R_А – qа + R_В – Р = 0 3,5 – 2·3 + 6,5 – 4 = 0.

Реакции определены правильно.

Определяем внутренние усилия Q и M в поперечных сечениях балки методом сечений.Для этого рассекаем условно балку в произвольном месте каждого участка плоскостями 1-1, 2-2, 3-3. Из условия равновесия отсеченной части определяем поперечную силу Q и изгибающий мо-мент М на каждом участке:

сечение 1-1 Q_z1 = R_A – qz₁; M_z1 = R_A z₁ – qz₁²/2; 0 < z₁ < 3;

сечение 2-2 Q_z2 = R_A – qa; M_z2 = R_A z₂ – qa(z₂ – a/2) – m; 3 < z₁ < 4;

сечение 3-3 Q_z3 = Р; M_z3 = – Р z_3; 0 < z₁ < 1,5.

Вычисляем значения Q и М.

I участок:

z₁ = 0; Q_z1 = 3,5 кН; М _z1 = 0.

z₁ = 3 м; Q_z1 = 3,5 – 2 · 3 = - 2,5 кН; М _z1 = 3,5 · 3 - (2 · 3² )/2 = 1,5 кН^.м.

Координату z₁*, при которой момент имеет максимальное значение, находим из условия Q_z1 = 0:

Q_z1 = R_A – qz₁* = 0; z₁* = R_A / q = 3,5/2 = 1,75 м.

Изгибающий момент в этом сечении равен

M_max = 3,5 · 1,75 – (2 · 1,75 ²)/2.

II участок:

z₂ = 3 м; Q_z2 = 3,5 – 2 · 3 = - 2,5 кН; М _z2 = 3,5 · 3 - 2 · 3 (3 – 3/2 ) – 5 = - 3,5 кН^.м;

z₂ = 4 м; Q_z2 = 3,5 – 2 · 3 = - 2,5 кН; М _z2 = 3,5 · 4 - 2 · 3 (4 – 3/2 ) – 5 = - 6 кН^.м.

III участок:

z₃ = 0; Q_z3 = 4 кН; М _z3 = 0.

z₃ = 1,5 м; Q_z3 = 4 кН; М _z3 = – 4 · 1,5 = – 6 кН.

По этим данным строим эпюры Q и М.

Из условия прочности при изгибе s = М / W _x £ [s]определяем необходимый момент сопротивления двутавровой балки:

W _x = М / [s] = (6 · 10³ )/(160 ·10⁶) = 3,75 · 10^{- 5} м³ = 37,5 см³.

По таблице сортамента на двутавр подбирается номер двутавра Ö10 с моментом сопротивления W _x = 39,7 м³.

Проверяем балку на прочность по касательным напряжениям: для этого вычисляем по формуле Журавского касательные напряжения для сечения, наиболее нагруженного поперечной силой (сечение на опоре В):

t = QS^*_x / bI_x.

Из таблиц сортамента для двутавра N⁰ 10 находим:

S^*_x = 23,0 см³; I_x = 198 см⁴; b = 4,5 мм = 0,45 см.

Тогда

t = 4·10³·23,0·10⁸ / 10⁶·0,45·198 = 1,03МПа.

Прочность по касательным напряжениям обеспечена.

Пример 4.3. На рисунке (4.12,а) задана эпюра изгибающих моментов и закон ее изменения по длине балки.

Установить комбинации нагрузок, вызывающих эту эпюру.

(1 + 3z – 1,25z²)

(5 – z – z²)

1

1 11 +

а) – -1 – 111 1V