Логарифмические частотные характеристики колебательного звена

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) звена может быть получена следующим образом:

. (3.32)

Первое слагаемое представляет собой постоянную величину L ₁(ω)= 20∙lg К - прямую, параллельную оси абсцисс. Второе слагае­мое зависит от частоты ω.

Если , составляющими T²ω² и 4ξ² T²ω² можно пренебречь по сравнению с 1, поэтому L₂(ω)=0.

Если ,то выполняется условие 1«Т² ω ².

В этом случае

.

Очевидно, что при изменении частоты ω на декаду, значение L₂(ω) изменится на -40 дБ. Следовательно, наклон L₂(ω) при этом будет равен -40 дБ/дек.

Таким образом, приближённая асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена (рис. 3.12) изображается двумя отрезками прямых: горизонтальным отрез­ком, при , и отрезком с наклоном -40 дБ/дек. Низкочастотные и высокочастотные асимптоты ЛАЧХ сопрягаются при частоте сопряжения ω₁, определяемой из следующего уравнения , т.е. при

частоте .

Точные ЛАЧХ колебательного звена отличаются от асимптотической ЛАЧХ. Эти отклонения в значительной степени зависят от коэффициента относительного затухания ξ, входящего в выражение передаточной функции.

Добавляя поправки, соответствующие различ­ным значениям ξ, к асим­птотической ЛАЧХ, можно получить точные ЛАЧХ.

Если построить семей­ство кривых (ЛАЧХ) для одного и того же значения

и различных значений ξ, то можно пока­зать, что при значениях 0,35 < ξ < 0,75 расхождение между асимптотической и истинными ЛАЧХ не пре­вышает 3 дБ, как и в случае апериодического звена. Поэтому в этом случае можно пользоваться асимптотическими ЛАЧХ. При других значениях ξ асимптотическую ЛАЧХ корректируют с помощью готовых графиков поправок, даю­щих разность между истинной и асимптотической ЛАЧХ. L(ω) в этом случае строится по расчёт­ным точкам (рис. 3.13).

Если ξ = T₁/2Т₂ ≥ 1, то коле­бательное звено превращается в апериодическое звено второго по­рядка, описываемое передаточной функцией (3.28).

Корни характеристического уравнения в данном случае будут равны

. (3.33)

Импульсная переходная характеристика описывается уравнением (3.29). Если ξ=0, то колебательное звено превращается в консервативное звено.

Логарифмическая фазочастотная характеристика колебательного зве­на φ(ω) рассчитывается по формулам:

; (3.34)

. (3.35)

На рис. 3.13 представлены эти характеристики при различных значени­ях коэффициента ξ, из которых видно, что ЛФЧХ колебательного звена изменяется от 0° в области низких частот, до 180^° в области высоких час­тот. На частоте сопряжения сдвиг по фазе равен -90°.