Примеры. 9.3. Доказать, что последовательность является бесконечно большой

9.3. Доказать, что последовательность является бесконечно большой.

Решение. Так как последовательность является бесконечно большой, а предел последовательности равен 3, то из следствия к теореме 2.17 следует, что последовательность является бесконечно большой.

9.4. Доказать, что последовательность является бесконечно большой.

Решение. Имеем: . Так как последовательность является бесконечно большой, а последовательность имеет предел, то из следствия к теореме 2.15 получаем, что последовательность является бесконечно большой. ●

Задачи

9.2. Доказать, что последовательность является бесконечно большой:

а) , б) , в) , г) , д) , е) .

9.3. Доказать, что если и , то

.

9.4. Доказать, что подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой.

9.5. Последовательность ограничена, а последовательность . Доказать, что последовательность .

9.7. Доказать, чтоесли , то .

9.8. Доказать, что если , то последовательность имеет наименьший (наибольший) элемент.

9.10. Доказать, что неограниченная последовательность содержит бесконечно большую подпоследовательность.

§ 2.10. Предел последовательности точек в пространстве

Если каждому натуральному числу поставлена в соответствие точка пространства :

, , ,…

…

,

то говорят, что задана последовательность точек в пространстве . Другими словами, последовательность точек в пространстве — это точки этого пространства, занумерованные всеми натуральными числами и расположенные в порядке возрастания номеров. Эти точки будем называть также членами или элементами последовательности.

Последовательность точек будет задана, если указан метод вычисления члена при каждом значении .Число называют общим или - м членом последовательности. Чаще всего указываются выражения для координат точки последовательности, при помощи которых находятся члены последовательности. Если общий член последовательности имеет вид:

, , ,

то соответствующая последовательность точек будет иметь вид:

, ,…, ,….

Последовательность точек , все члены которой совпадают с одной и той же точкой, называется стационарной.

Точка называется пределом последовательности точек , , пространства , если выполняются условия:

; ;…; ,

т.е. последовательность первых координат точек , , сходится к первой координате точки ; последовательность вторых координат точек , , сходится ко второй координате точки ; и т.д.; последовательность последних координат точек , , сходится к последней координате точки .

Последовательность точек, имеющая предел, называется сходящейся. Если точка является пределом последовательности , то это обозначают символом или при . Если последовательность не имеет предела, то хотя бы одна последовательность ее координат не имеет предела. Такую последовательность называют расходящейся.

Пример

10.1. Найти предел последовательности точек .

Решение. Так как

, , ,

то последовательность точек , , сходится к точке .●

Последовательность точек в пространстве и фиксированная точка определяют числовую последовательность

. (10.1)

Если — подпоследовательность последовательности , то

является подпоследовательностью последовательности (10.1).

Теорема 2.15. Дана последовательность точек , , в пространстве и точка . Следующие условия равносильны.

1. .

2. .

3. Каждая окрестность точки содержит все точки последовательности при всех , некоторое натуральное число.

Доказательство.

1 2. Возьмем произвольное число . Из условия вытекает, что при любом . Отсюда и условия 2 теоремы 2.5 следует справедливость неравенства при любом , .

Обозначим символом . Тогда все неравенства:

, ,…,

будут справедливы при всех . Рассмотрим числовую последовательность . Теперь неравенство

справедливо при всех . Из условия 2 теоремы 2.5 следует

.

2 3. Рассмотрим произвольную окрестность точки . Из условия и условия 2 теоремы 2.5 получаем, что неравенство , т.е. , справедливо при всех .

3 1. Заметим, что при любом и любом верно неравенство

. (10.2)

Возьмем произвольное число . Из условия 3 теоремы 2.15 имеем: при всех . Отсюда и из неравенства (10.2) следует, что неравенство справедливо при всех и любом . Теперь из условия 2 теоремы 2.5 вытекает при любом , поэтому . ■

Следствие. Если в каждой окрестности точки выберем точку , то

Доказательство. Так как и крайние члены этого неравенства сходятся к нулю, то из теоремы о трех последовательностях следует, что . Из теоремы 2.15 следует, что . ■

Последовательность точек в пространстве наследует часть свойств числовых последовательностей. Докажем два таких свойства.

Теорема 2.16. Следующие утверждения справедливы.

1. Сходящаяся последовательность точек в пространстве ограничена.

2. Если , то любая подпоследовательность последовательности сходится к точке .

Доказательство.

1. Из сходимости последовательности вытекает покоординатная сходимость: последовательность сходятся при любом . Следовательно, последовательность ограничена при любом . Теперь из определения ограниченного множества вытекает ограниченность последовательности .

2. Так как последовательность , то из условия 2 теоремы 2.15 следует . Из утверждения 2 в §5 получаем, что предел подпоследовательность последовательности также равен нулю. Значит последовательность (теорема 2.15). ■

В дальнейшем изучении математического анализа неоднократно будет использоваться следующая характеризация предельных точек множества в терминах сходимости последовательности точек.

Теорема 2.17. Точка является предельной точкой множества в пространстве тогда и только тогда, когда во множестве найдется последовательность точек , причем при любом , сходящаяся к точке .

Необходимость. Так как — предельная точка, то в каждой окрестности найдется точка и . Отсюда вытекает двойное неравенство . Крайние члены в этом неравенстве сходятся к нулю. Из теоремы о трех последовательностях следует, что .

Теперь из теоремы 2.15 получаем, что .

Достаточность. Последовательность точек из множества сходится к точке , причем при любом . Тогда в каждой окрестности точки содержатся все точки последовательности , начиная с некоторого номера. Следовательно, в каждой окрестности точки содержатся точки множества , отличные от точки , поэтому — предельная точка множества . ■

Следствие. Если члены сходящейся последовательности точек принадлежат замкнутому множеству, то и ее предел принадлежит этому множеству.

Доказательство следствия вытекает из достаточности теоремы и определения замкнутого множества. ■