Решение. а) Подпоследовательность

а) Подпоследовательность

.

Отсюда, применяя теоремы 2.6-2.9: .

Подпоследовательность

. Отсюда, применяя теоремы 2.6-2.9:

. Две подпоследовательности сходятся к разным пределам. Следовательно, последовательность не имеет предела.

б) Подпоследовательность имеет предел:

.

Подпоследовательность имеет предел:

.

Две подпоследовательности сходятся к разным пределам. Следовательно, последовательность не имеет предела. ●

Задачи

6.1. Найти предел последовательности :

a) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) , ж) , з) , и) .

6.2. Найти предел последовательности :

а) ; б) ; в) ; г) т.

6.3. Дано, . Найти: а) ; б) .

6.4. Доказать расходимость последовательности

а) ; б) .

6.5. Последовательность не имеет предела, если одна из последовательностей имеет предел, а другая последовательность не имеет предела.

§ 2.7.Предельный переход в неравенстве

Теорема 2.10. Справедливы следующие утверждения.

1. Если последовательности имеет предел и для всех справедливо неравенство , то .

2. Если последовательности и имеют предел и для всех справедливо неравенство , то .

Доказательство. 1. Пусть . Надо доказать, что . Предположим, что . Тогда из следствия к теореме 2.5 следует, что неравенство будет выполняться для всех , что противоречит условию теоремы. Случай рассматривается аналогично.

2. Из теоремы 2.6 вытекает, что предел последовательности существует и ее члены . Из 1-го утверждения теоремы 2.9 следует, что , поэтому , т.е. . ■

Теорема 2.11. (О трех последовательностях). Последовательности , ,и удовлетворяют условиям:

1. при любом ; 2. .

Тогда .

Доказательство. Пусть — произвольное число. Так как , и , то из следствия к теореме 2.5 следует, что при всех . Из условий , и следствия к теореме 2.5 вытекает, что при всех . Если , то при всех справедливо неравенство , поэтому при всех справедливо неравенство . Теперь из теоремы 2.5 следует, что . ■

§ 2.8. Предел последовательности

Теорема 2.12. Если предел последовательности равен , и члены последовательности неотрицательны, то

.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда .Возьмем произвольное число , , и рассмотрим цепочку равносильных неравенств: .

Так как , то из следствия к теореме 2.5 следует, что неравенство справедливо при всех . Из следствия к теореме 2.5 и неравенства получаем, что неравенство справедливо при всех . Теперь неравенство

верно при всех . Из второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .

Пусть теперь .Возьмем и рассмотрим цепочку равносильных неравенств: . Отсюда и из второго утверждения теоремы 2.5 следует, что неравенство справедливо при всех , т.е. . ■

Замечание. Если предел последовательности равен , и члены последовательности неотрицательны, то

.

Доказательство. .

Следствие. Справедливы утверждения:

а) Если , то ; б) .