Предел ограниченной последовательности

Рассмотрим ограниченную последовательность чисел . Последовательность также ограничена при любом . Построим две числовые последовательности и :

, .

Свойства последовательностей и :

1. ,

2. — неубывающая последовательность;

3. — невозрастающая последовательность.

Первое свойство следует из определения чисел и . Так как множество , то второе и третье свойства вытекают из теоремы 1.7.

Из свойств 1––3 следует цепочка неравенств

. (3.1)

Таким образом, последовательность — неубывающая и ограниченная сверху числом , а последовательность — невозрастающая и ограниченная снизу числом . Введем обозначения:

, .

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределом последовательности .

Теорема 2.3. Справедливы следующие утверждения.

1. Нижний предел последовательности не превосходит ее верхний предел, т.е. .

2. Для каждого неравенство справедливо при всех .

3. Для каждого неравенство справедливо при всех .