Доказательство. 1.Пусть является точной верхней гранью неубывающей или возрастающей последовательности , т.е

1. Пусть является точной верхней гранью неубывающей или возрастающей последовательности , т.е. . Тогда имеем цепочку равносильных утверждений: не является верхней гранью множества содержит такой элемент , для которого

, если (так как последовательность неубывающая или возрастающая, то , если ).

2. Случай невозрастающей или убывающей последовательности рассматривается аналогично. ■