Доказательство. 1 2.Вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности :

1 2. Вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности : Обозначим через любое число, которое больше чисел . Тогда все члены последовательности, номера которых принадлежат окрестности .

2 3. При всех справедлива цепочка импликаций:

.

3 1. При всех справедлива цепочка импликаций:

.

Отсюда следует, что только члены последовательности могут не принадлежать окрестности , т.е. вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .▲

Числовая последовательность является числовым множеством, поэтому можно говорить о верхней и нижней грани последовательности. Отсюда следует, что:

а) последовательность ограничена, если для любого ;

б) последовательность неограничена, если для любого найдется элемент этой последовательности, для которого .

Теорема 2.1. Справедливы следующие утверждения.

1. Если интервал содержит все члены последовательности , начиная с некоторого номера , то эта последовательность является ограниченной.

2. Если при каждом равносильны неравенства:

,

где — число, не зависящее от номера , то неравенство справедливо при всех .

3. Если неравенство справедливо для всех членов последовательности с номерами , то неравенство справедливо при всех и при любом .