Знакопеременные ряды. Пусть имеется последовательность чисел , такая, что

Пусть имеется последовательность чисел , такая, что . Ряд

называется знакопеременным рядом.

Признак Лейбница. Если , то ряд сходится.

Доказательство.

Рассмотрим следующую частную сумму изучаемого ряда

с чётным индексом 2 m. Ее можно записать двояко. Записывая ее в форме

и вспоминая, что монотонно убывают, получаем,что все слагаемые положительны и поэтому монотонно возрастают с ростом m. С другой стороны, записывая эту же частную сумму в виде

,

так как все выражения, стоящие в скобках, опять-таки положительны. Поэтому, по теореме о пределе монотонно возрастающей последовательности, существует конечный .

Рассмотрим теперь частные суммы знакопеременного ряда с нечетным индексом. Имеем

.

Но тогда

.

Поэтому вообще и ряд сходится. <