Оценка остатка сходящегося ряда

При нахождении суммы ряда на ЭВМ, конечно, невозможно просуммировать бесконечное число слагаемых, всегда приходится ограничиваться какой-то частной суммой. Но при этом необходимо иметь какую-то оценку погрешности, то есть оценку остатка сходящегося ряда. Ниже будет получена одна из таких оценок.

Вспомним основное неравенство предыдущей теоремы:

.

Тогда имеем

Переходя к пределу , получаем

.

С другой стороны получаем

Переходя к пределу , получаем

.

Объединяя эти два неравенства, получаем окончательно

.

Это и дает искомую оценку остатка сходящегося ряда.