Необходимое условие экстремума. Функция определена на множестве и точка

Функция определена на множестве и точка . Функция имеет локальный экстремум в точке , если найдется окрестность

этой точки, в которой справедливо неравенство

или .

В первом случае точка называется точкой локального минимума, а во втором — точкой локального максимума.

Заметим, что будет точкой локального минимума (максимума) тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности этой точки

.

Теорема 8.7 (необходимое условие экстремума). Функция имеет в точке локальный экстремум. Тогда градиент функции в точке равен нулевому вектору.

Доказательство. Так как

,

то для доказательства теоремы достаточно доказать, что все частные производные функции в точке равны нулю. Полагаем значения всех переменных у функции равными соответствующим координатам точки , кроме переменной . Тогда получим функцию , которая зависит от одной переменной и имеет в точке локальный экстремум. Из теоремы 8.2 следует, что

, . ■

Точки, в которых градиент функции равен нулевому вектору, называются критическими точками функции. Так же, как и в случае функции одной переменной, не каждая критическая точка функции многих переменных является точкой локального экстремума функции.