Достаточное условие экстремума функции

Исследование поведения функции в окрестности точки проведем, используя формулу Тейлора в форме Пеано (теорема 7.1):

, (1)

где , , .

Второй дифференциал

(2)

функции в точке является квадратичной функцией от переменных , , а числа — коэффициенты этой квадратичной функции.

Квадратичная функция называется положительно (отрицательно) определенной, если значение этой функции при любых значениях приращений , одновременно не равных нулю, положительно (отрицательно). Знакопостоянной будем называть квадратичную функцию, которая является положительно или отрицательно определенной. Знакопеременной называется квадратичная функция, которая принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Лемма 1. Если функция является знакопостоянной и

, то найдется такое число , что знак выражения

(3)

совпадает со знаком функции , если .

Доказательство. Перепишем формулу (2) в виде

.

Так как

,

то точка при любых значениях ,…, ,…, , одновременно не равных нулю, принадлежит сфере .

Квадратичная функция непрерывна при любых значениях

переменных, и значит, непрерывна на сфере, которая является замкнутым и ограниченным множеством (следствие из теоремы 4.9). Так как функция является знакоопределенной, то >0 в каждой точке сферы.

Из 2-й теоремы Вейерштрасса следует, что функция принимает свое наименьшее значение в некоторой точке сферы, которое больше нуля, т.е. . Отсюда следует, что

. (4)

Так как , то из теоремы 3.11 вытекает, что если , то найдется такое число , что неравенство будет справедливо, как только . Отсюда следует, что

.

Следовательно, знак выражения совпадает со знаком , как только . ■

Лемма 2. Точка , , принадлежит окрестности тогда и только тогда, когда .

Доказательство вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

. ■

Теорема 8.8 (достаточное условие экстремума). Функция в окрестности критической точки имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Справедливы следующие утверждения:

1. Если функция положительно определена, то — точка локального минимума функции .

2. Если функция отрицательно определена, то — точка локального максимума функции .

Доказательство. Градиент функции в точке равен нулю, так

как является критической точкой этой функции. В этом случае формула (1) будет иметь вид

.

Из леммы 1 и 2 следует, что найдется такая окрестность , в которой знак приращения функции совпадает со знаком второго дифференциала в точке этой функции.

1. Если функция положительно определена, то в окрестности точки , т.е. в этой окрестности, значит, — точка локального минимума функции .

2. Если функция отрицательно определена, то в окрестности точки , т.е. в этой окрестности, значит, — точка локального максимума функции . ■

Ниже докажем, что если функция является знакопеременной, то не является точкой локального экстремума. При доказательстве этого утверждения необходимо будет иметь явную зависимость от вектора приращений . Для этого введем обозначение

.

Тогда приращение функции в критической точке будет иметь вид

, , .

Лемма 3. Справедливы следующие утверждения, где .

1. Для любого числа верно, что .

2. Если , , и , то найдется такое число , что неравенство

, .

будет справедливо, как только .

Доказательство

1. .

2. Так как , то . Используя 1-е утверждение леммы 3, получим

.

Отсюда и из 1-го утверждения леммы 1 следует 2-е утверждение леммы 3. ■

Теорема 8.9. Если функция является знакопеременной, то не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Допустим противное, т.е. пусть является точкой локального экстремума функции . Тогда из определения локального максимума (минимума) следует, что найдется окрестность точки , в каждой точки которой выполняется неравенство .

Так как функция является знакопеременной, то существует такой вектор приращений , что .

Рассмотрим вектор приращений , . Из леммы 3 следует, что

найдется такое число , что если , то справедливо неравенство

. (5)

Обозначим символом . Тогда .

Если , то . Отсюда получаем, что выполняется неравенство (5), и, значит, справедливо неравенство

. (6)

Если , то . Теперь из леммы 2 вытекает, что точка , , принадлежит окрестности .

Из неравенства (6) следует , и . Значит, точка не является точкой локального максимума (минимума) функции в окрестности , что противоречит сделанному предположению. ■

Пусть функция имеет непрерывные производные второго порядка в окрестности точки . Тогда из теоремы о смешанных производных 7.1 следует, что при любых значениях и от до . Если ввести обозначения: , , то второй дифференциал будет иметь вид

, . (7)

Квадратичная функция (7) называется квадратичной формой.

Знакоопределенность и знакопеременность квадратичной формы можно установить при помощи приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Каждая квадратичная форма может быть методом выделения полных квадратов приведена к виду (приложение 3)

. (8)

Справедливы следующие утверждения:

1. квадратичная форма (7) положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты в равенстве (8) положительны, т.е.

, , …, .

2. квадратичная форма (7) отрицательно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты в равенстве (8) отрицательны, т.е.

, , …, .

3. квадратичная форма является знакопеременной тогда и только тогда, когда среди коэффициентов в равенстве (8) имеется хотя бы два коэффициента разных знаков.

В качестве примера рассмотрим приведение к сумме квадратов второго дифференциала функции , имеющей непрерывные вторые производные. В этом случае процесс приведения к сумме квадратов имеет вид (:

. (9)

Отсюда следует, что если

(10)

то квадратичная форма положительно определена и, значит, в точке

функция имеет локальный минимум, а если

(11)

то квадратичная форма отрицательно определена и, значит, в точке

функция имеет локальный максимум.

Если же выполняется условие

, (12)

то знаки коэффициентов при квадратах в выражении (8) будут разными, каков бы ни был знак числа . Следовательно, если выполняется условие (12), то квадратичная форма будет знакопеременной и в точке функция не имеет локального экстремума.

Критерий Сильвестра. Установить знакоопределенность квадратичной формы можно также при помощи критерия Сильвестра: квадратичная форма

, ,

а) положительно определена тогда и только тогда, когда

, , ,…, ;

б) отрицательно определена тогда и только тогда, когда

, , ,…, ,

в) является знакопеременной, если

.

Примеры. Исследовать на экстремум функции.

3. .

4. .