Обеспечение требуемой точности измерений

Многократное измерение одной и той же величины посто­янногоразмера позволяет обеспечить требуемую точность. Поскольку ширина доверительного интервала зависит от ко­личества экспериментальных данных, постольку, увеличивая п, можно добиться выполнения наперед заданного условия

Упрощенный алгоритм обработки экспериментальных данных в этом случае показан на рис. 39.

Пример 18. В табл. 12 приведены 10 независимых числовых значе­ний результата измерения линейного размера (в сантиметрах).Определить его длину, если с вероятностью 0,95 точность измерения должна быть не ниже 2 = 2 см.

Решение. 1. Используя вспомогательные вычисления, сведенные в табл. 12, получим

2. Больше чем на 3 S _l = 7,5 от среднего арифметического не отли­чается ни одно из числовых значении результата измерения. Таким об­разом, следует признать, что ошибок нет.

Рис. 39. Обеспечение требуемой точности при многократном измерении

Таблица 12

i	li			i	li
		-1				-3
						-3
		-3

3. Допустим, есть основание полагать, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

4. Стандартное отклонение среднего арифметического

5. При п = 10 и Р = 0,95 по графику на рис. 38 находим t = 2,3.3 (2,26 по таблице "Значение t-критерия Стьюдента").

6. Так как

то необходимо увеличить количество экспериментальных данных.

7. Пусть l₁₁ = 390. Тогда

= 391,8; S _l = 2,48.

8. Для проверки нормальности закона распределения вероятности результата измерения используем составной критерий. При п = 11 и лю­бой вероятности в табл.11

d_min<d=0,8526<d_max

и ни одно из числовых значений l_i не отличается от 391,8 больше, чем на 2,5 S_l= 6,2. Таким образом, результаты проверки не противо­речат гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормаль­номузакону распределения вероятности.

9. Стандартное отклонение среднего арифметического при n=11

10. При n = 11 и Р = 0,95 t = 2,2 (по таблице 2,23). Таккак

то необходимо еще больше увеличить количество экспериментальных данных.

11. Результаты последующих действии приведены в табл. 13.

Таблица 13

n	ln		Sl		t	ε
		391,8	2,37	0,68	2,2	1,5
		391,8	2,29	0,63	2,2	1,4
			2,35	0,63	2,15	1,35
		391,9	2,28	0,59	2,15	1,27
			2,22	0,56	2,15	1,2
		391,9	2,23	0,54	2,1	1,13
			2,16	0,51	2,1	1,07
			2,15	0,49	2,1	1,04
			2,14	0,48	2,1	1,01
			2,13	0,47	2,1	0,98

Таким образом, потребовалось получить 21 числовое значение результата измерения для того, чтобы с вероятностью 0,95 установить, что 391см ≤ l ≤ 393 см. Трудоемкость подобной работы требует автома­тизации измерений и обработки экспериментальных данных.

На практике беспредельно повышать таким способом точ­ность измерения не удается, так как рано или поздно опре­деляющим становится не рассеяние отсчета и, следовательно, показания средства измерений, а недостаток информации (выражающийся, например, в незнании точного значения поправок и т.п.). Накапливать экспериментальные данные и уменьшать за счет этого стандартное отклонение среднего арифметического значения показания имеет смысл лишь до тех пор, пока по критерию (10) им нельзя пренебречь по сравнению с аналогом среднего квадратического отклонения, учитывающим дефицит информации (рис. 40). Точность многократного измерения, следовательно, ограничивается дефицитом информации.

Пример 19. При каком количестве экспериментальных данных в примере 14 можно получить максимально возможную точность из­мерения?

Решение. 1. Для достижения максимальной точности количество экспериментальных данных нужно увеличивать до тех пор, когда по критерию (10) можно будет пренебречь по сравнению с . Из усло­вия

где = 2,0 мм; = 2,6 мм, получим, что нужно уменьшить неме­нее, чем в 2,3 раза.

2. Накопление экспериментальных данных позволит перейти к сред­нему арифметическому значению показания. Для того, чтобы его стан­дартное отклонение

оказалось не менее, чем в 2,3 раза меньше , нужно получить n > 2,3² = 5

Рис. 40. Обработка экспериментальных данных при дефиците информации

независимых отсчетов (не считая ошибок).

3. Для достижения еще большей точности нужно провести ис­следования, направленные на уточнение температурной поправки, и уменьшить .

2.7. МНОГОКРАТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ С НЕРАВНОТОЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ОТСЧЕТА

При многократном измерении с неравноточными значе­ниями отсчета, подчиняющимися нормальному закону рас­пределения вероятности, функцию правдоподобия можно представить в виде

если все значения отсчета, полученные, например, с помощью разных средств измерений, являются независимыми. Для оценки среднего значения результата измерения удобнее пе­рейти к логарифму функции правдоподобия

ln L=

где С от не зависит. Решая при уравнение

получим

Это так называемое среднее взвешенное, в числителе кото­рого отдельные значения результата измерения суммируют­ся с "весами", обратно пропорциональными их дисперсиям. Тем самым более точным значениям придается больший вес. Наличием суммы в знаменателе обеспечивается то, что в выражении

сумма всех весов

где нормированный вес каждого отдельного результата измерения

Математическое ожидание среднего взвешенного

Таким образом, среднее взвешенное является несмещенной оценкой среднего значения результата измерения.