Точечные оценки числовых характеристик

Оценки числовых характеристик законов распределения вероятности случайных чисел или величин, изображаемые точ­кой на числовой оси, называются точечными. В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными, при­чем их значения зависят от объема экспериментальных дан­ных, а законы распределения вероятности — от законов рас­пределения вероятности самих случайных чисел или значений измеряемых величин. Оценки должны удовлетворять трем требованиям: быть состоятельными, несмещенными и эффек­тивными. Состоятельной называется оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой числовой характеристике. Несмещенной является оценка, математическое ожидание ко­торой равно оцениваемой числовой характеристике. Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несме­щенных оценок, которая имеет наименьшее рассеяние.

Рассмотрим п независимых значений Q _i, полученных при измерении физической величины постоянного размера. Пусть, как и раньше (см. разд. 2.4), каждое из них отличается от среднего значения на случайное отклонение :

…………….

…………….

Сложив между собой левые и правые части этих уравнений и разделив их на n, получим:

В пределе при

Здесь

; ,

так что среднее арифметическое значение результата измере­ния

,

сходящееся по вероятности к , при любом законе распреде­ления вероятности результата измерения может служить состоятельной точечной оценкой среднего значения.

Математическое ожидание среднего арифметического

Поэтому среднее арифметическое при любом законе распре­делениявероятности результата измерения является не толь­ко состоятельной, но и несмещенной оценкой среднего зна­чения. Этим обеспечивается правильность результата много­кратного измерения.

Точность результата многократного измерения зависит от эффективности оценки среднего значения. Чем она эффектив­нее (чем меньше ее рассеяние), тем выше точность (см. рис. 32). Критерии эффективности могут быть разными. При нор­мальном законе распределения вероятности наиболее попу­лярным является такой показатель эффективности (мера рас­сеяния), как сумма квадратов отклонений от среднего значе­ния. Чем меньше этот показатель, тем эффективнее оценка. Это позволяет поставить задачу отыскания оценки среднего значения, наиболее эффективной по критерию

(12)

Такая задача называется задачей синтеза оптимальной (т.е. наилучшей в смысле выбранного критерия) оценки среднего значения, а метод ее решения, основанный на использовании критерия (12), — методом наименьших квадратов.

Исследуем функцию в левой части выражения (12) на экс­тремум. Она достигает минимума при

.

После возведения в квадрат и почленного дифференцирова­ния

получим

Если в качестве оценки Q выбрать среднее арифметическое , то равенство

будет выполняться при п в силу состоятельности этой оценки. Таким образом, среднее арифметическое является не только состоятельной и несмещенной, но и наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов точечной оценкой среднего значения результата измерения.

В качестве точечной оценки дисперсии результата измере­ния по аналогии со средним арифметическим можно было бывзять

При любом законе распределения вероятности результата измерения эта оценка является состоятельной, так как при п второе слагаемое в правой части стремится к нулю, а первое — . Но

т.е. такая оценка является смещенной. Несмещенную оценку можно получить, умножив ее на коэффициент .

При п этот коэффициент стремится к 1, так что несме­щенная точечная оценка дисперсии

при любом законе распределения вероятности результата измерения остается состоятельной. Квадратный корень из нее

называется стандартным отклонением.

Оценив среднее значение Q и среднее квадратическое от­клонение результата измерения, можно, используя вместо этих числовых характеристик точечные оценки и S _Q, по правилу "трех сигм" проверить, не являются ли некоторые сомнительные значения Q_i ошибочными. Если окажется, что они отличаются от среднего арифметического больше чем на 3 S _Q, то их следует отбросить (см. рис. 33). После это­го рассчитываются окончательные значения и S _Q.

Пример 15. 15 независимых числовых значений результата измере­ния температуры в помещении по шкале Цельсия приведены во второй графе табл. 8.

Таблица 8

i	ti
	20,42	+ 0,016	0,000256	+ 0,009	0,000081
		+ 0,026		+ 0,019
		- 0,004		- 0.01 1
		+ 0,026		+ 0,019
		+ 0,016		+ 0,009
		+ 0,026		+ 0,019
		- 0,014		- 0.021
		- 0,104			-
		-0,004		-0,011
		+ 0,026		+0,019
		+ 0,016		+ 0,009
		+ 0,006		- 0,001
		- 0,014		- 0,021
		- 0,014		- 0,021
		- 0,004		- 0,011

Не допущено ли ошибок приих получении?