Интегрирование рациональной функции

, , являющейся правильной дробью (т.е. при ), производится путём представления этой функции в виде суммы простых дробей. Если же дробь является неправильной (), то её представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби, затем интегрируют эти слагаемые.

Пример 7. Найти интегралы: а) ; б) .

Решение. а)

Иногда вычисляют иначе

б)

.

Пример 8. Найти интегралы: а) ;

б) ; в) .

Решение. а) Найдём разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей:

;

;

;

Таким образом,

.

б) .

Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей:

;

. (1)

x = 0; –8A = +5. Þ A = –5/8,

x = 2; 24B = 3. Þ B = 1/8.

Из равенства (1) следует (приравниваются коэффициенты при x³ и x):

Отсюда, зная уже A = –5/8, B = 1/8, находим C = 1/2, D = 7/4. Таким образом,

.

в) Рациональная функция представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть делением уголком

x⁴ – 3x² + 2x +7 x³ – 2x² + x

x⁴ – 2x³ + x² x + 2

2x³ – 4x² + 2x + 7

2x³ – 4x²+2x

Таким образом,

.

Разложим правильную дробь на сумму простых дробей:

;

; (2)

x = 0; A = 7;

x = 1; B₂ = 7.

Сравнивая старшие коэффициенты в обеих частях равенства (2), находим A + B₁ = 0, B₁ = –A = –7. Таким образом,

.

7. Интегрирование тригонометрических функций

При интегрировании функций вида лучше придерживаться следующего правила: 1) если n нечётное положительное число, то делаем замену переменной если m – нечётное положительное число, то делаем замену переменной и это приведёт к интегралу от степенной функции; 2) если n и m – чётные числа, то с помощью формул , достигается упрощение вида подынтегральной функции.

Пример 9. Найти а) ; б) .

Решение. = = ;

б)

.

Интегрирование функций вида , , производится с помощью формул произведений синусов и косинусов.

Пример 10. Найти .

Решение.

.

Интегрирование функций вида R(sinx, cosx), где R – рациональная функция двух переменных, производится с помощью замены . При этом , , ,

.

Пример 11. Найти .

Решение. = =

.

8. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегралы вида , где R – рациональная функция двух переменных, выделением полного квадрата приводятся к одному из следующих видов:

1) ; 2) ; 3) .

Эти последние интегралы находятся с помощью подстановок:

1) t = a tgu или t = a shu; 2) t = a/cosu или t = a chu;

3) t = a sinu или t = a thu.

Пример 12. Найти .

Решение. = =

=

.

Пример 13. Найти .

Решение. =

= .