Правило Лопиталя – Бернулли

Правило позволяет раскрывать неопределённости и , а также, после приведения к указанным дробям, неопределённости , , и .

Оказывается, если в некоторой точке две функции равны 0, то предел их отношения такой же, как у отношения производных: .

Подобное свойство выполнено, если функции в точке a становятся бесконечно большими: .

Кроме того, оба свойства справедливы, когда , а не к точке a.

Пример 1. Найдём . Поскольку и , то

.

Разумеется, можно было вначале сократить и потом подставить 2.

Пример 2. .

Пример 3. (или )

(если забыть, что при любых и всегда ).

Пример 4. Правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз:

.

(тем самым при любых и , даже при и ).

Правило нельзя применять, если нет неопределённости или .

Пример 5. , при этом .

ЛБ1. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ;

5) а) ; б) ; в) ; г) .

Неопределённость можно раскрыть, заменив на или .

Пример 6. Найдём . Учтём, что , тогда

.

Неопределённость приводят к , а затем – к или .

Пример 7. Найдём . Преобразуем:

.

Но , и . Тогда отношение производных можно упростить до .

Значит, .

В данном примере можно было сразу после взятия производных учесть, что при , и не записывать громоздкий корень, а заменять числом 1. Однако так нельзя делать, если из корня такое же число 1 вычитается.

ЛБ2. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

1) а) ; б) ; в) ;

2) а) ; б) ; в) ;

3) а) ; б) ; в) .

Применение правила можно совмещать с переходом к эквивалентным бесконечным малым величинам и с подстановкой чисел.

Пример 8. , дифференцируем числитель и знаменатель:

.

Но , , а при и , тогда

.

ЛБ3. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

1) а) ; б) ; в) ; г) .