Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование обычно применяют, чтобы найти производные от степенно-показательных функций или от произведений и дробей , где – действительные числа.

В этих случаях можно найти логарифм функции, упростить его по основным свойствам логарифмов, продифференцировать то, что получилось, и умножить на первоначальную функцию.

Правило дифференцирования следует из формулы .

Пример 1. Применяя свойство , находим

,

тогда

,

т.е. . Поэтому

,

или, после раскрытия скобок, .

Пример 2. Здесь , тогда

,

поэтому .

Пример 3. Найдём производную функции .

Логарифмируем:

,

выносим степень:

,

дифференцируем:

.

Тогда

.

Пример 4.

Можно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и продифференцировать частное, но лучше найти

и затем .

Полученную сумму умножим на исходную функцию. Раскрывать скобки нет смысла – наоборот, в таких задачах желательно выносить общий множитель. Итак,

.

Пример 5.

Раскрыть скобки невозможно из-за корней, и непосредственное дифференцирование весьма громоздко. Поэтому ищем

,

затем по свойству логарифма выносим степени:

,

и тогда

.

Окончательно

.

ЛД1. Найдите производные функций

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

ЛД2. Найдите производные функций при помощи логарифмического дифференцирования. Укажите, в каких точках производная не определена:

1) ;

2) ;

3) .

ЛД3. Найдите производные при помощи логарифмирования:

1) а) ; б) ;

2) а) ; б) ;

3) а) ; б) .

Пример 6. Пусть , тогда

,

соответственно

,

и тогда

.