Аффинные множества

Подмножество пространства называется аффинным, если для каждой пары точек из множества выполняется условие: множеству принадлежат все точки М пространства , для которых

(1)

◊ Замечание. Если в равенстве (1) положить, то из условия следует . Теперь в определении аффинного множества вместо (1) можно написать

♦

□ Tеорема2.3. Для каждого множества из пространства равносильны следующие утверждения:

1) – аффинное множество;

2) для каждых двух точек из множества конец вектора , отложенный от точки , принадлежит при любом , т.е.

, = .

Доказательство.

1) 2) Дано, что – аффинное множество, = , точки принадлежат множеству . Требуется доказать: M . Это утверждение вытекает из определения аффинного множества и следующей цепочки импликаций:

=

= (1− t) + t .

2) 1) Докажем что, – аффинное множество. Для этого надо установить, что из условий , вытекает . Используя условие 2), имеем следующую цепочку импликаций:

− = ( − ) = ■