Числовые характеристики функций от случайных величин и векторов. 2.3.58. Дискретная случайная величина имеет закон распределения: -1

2.3.58. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

	-1
	0.2	0.1	0.3	0.4

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2.3.59. Один раз брошены две игральные кости. Случайная величина - сумма выпавших очков. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2.3.60. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

	-1

Найти коэффициент корреляции между случайными величинами и .

2.3.61. Дискретный случайный вектор имеет закон распределения:

	-1
	0.1	0.2
	0.2	0.3	0.2

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2.3.62. Дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии . Найти и если:

а) б) .

2.3.63. Случайная величина распределена по равномерному закону . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2.3.64. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятностей:

Найти .

2.3.65. Случайная величина имеет плотность вероятностей

Найти дисперсию случайной величины .

2.3.66. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону: , (). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

2.3.67. Случайная величина распределена по нормальному закону, причем . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2.3.68. Найти и , если случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами .

Примечание. В этом случае говорят, что случайная величина имеет логарифмически нормальное распределение.

2.3.69. Случайные величины и независимы и имеют следующие числовые характеристики: . Вычислить математические ожидания случайных величин и .

2.3.70. Случайный вектор имеет математическое ожидание и корреляционную матрицу . Найти дисперсию случайной величины .

2.3.71. Случайная точка равномерно распределена в прямоугольнике с вершинами в точках Вычислить а также и .

2.3.72. Случайная точка распределена равномерно внутри круга радиуса . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2.3.73. Случайные величины и независимы и имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием и дисперсией . Найти коэффициент корреляции случайных величин и . Что можно сказать о случайных величинах и , если ?

2.3.74. Случайная величина равномерно распределена в интервале . Определить: а) б) в)
г)

2.3.75. Случайная величина распределена по нормальному закону . Найти математическое ожидание случайной величины .

2.3.76. Случайные величины и независимы и распределены: - по равномерному закону , - по нормальному закону . Вычислить и .

2.3.77. Случайная величина распределена по закону , а независящая от нее случайная величина по равномерному закону . Вычислить и , если .

2.3.78. Непрерывные случайные величины и имеют плотности вероятностей и , графики которых изображены на рис. 2.15.

Рис 2.15.

Известно, что случайные величины и зависимы и коэффициент корреляции между ними Определить: а) ; б) в) .

2.3.79. На окружность радиуса наудачу ставятся две точки. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной длины хорды, соединяющей эти точки.

2.3.80. На отрезок длины наудачу ставится точка и проводится окружность радиуса . Найти и , где - длина окружности, а также и , где - площадь круга.

2.3.81. На отрезок наудачу ставятся две точки и . Найти , где - площадь квадрата со стороной . Найти также и .

2.3.82. На смежные стороны прямоугольника со сторонами и наудачу и независимо ставятся по одной точке. Найти математическое ожидание и дисперсию квадрата расстояния между ними.

2.3.83. Внутри интервала зафиксирована точка с координатой . Случайная точка распределена равномерно на интервале , а случайная величина - расстояние от точки до . Определить, при каком величины и будут некоррелированными.

2.3.84. Пусть у случайной величины существует начальный момент 4-го порядка, т.е. . Используя неравенство Коши-Буняковского, доказать, что тогда у случайной величины существуют начальные моменты 1-го, 2-го, и 3-го порядков.

2.3.85. Случайная величина равномерно распределена на интервале , ( -целое, положительное). Найти коэффициент корреляции между случайными величинами и . Рассмотреть случаи четного и нечетного , а также .

2.3.86. Случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент корреляции между суммами случайных величин и

.

Указание. Рассмотреть вначале случай .