Случайные векторы. Законы распределения и числовые характеристики. Условные законы распределения. Независимость случайных величин

Совокупность случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве , называется -мерным случайным вектором и обозначается . Случайную величину , при этом называют -ой координатой случайного вектора . Функция вещественных переменных, определяемая для любого равенством

,

называется функцией распределения случайного вектора или совместной ( -мерной) функцией распределения случайных величин .

Двумерный случай (n = 2). Двумерный случайный вектор обычно обозначают , а его функция распределения определяется равенством:

Основные свойства функции распределения случайного вектора :

1) для любых .

2) является неубывающей и непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

3) .

4) .

5)

где и - функции распределения координат и соответственно.

Свойство 5) означает, что по функции распределения двумерного случайного вектора всегда можно найти одномерные (маргинальные) функции распределения его координат.

6) Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, определяется по формуле:

Случайный вектор называется дискретным, если множество его возможных значений конечно или счетно.

Закон распределения дискретного случайного вектора (двумерный дискретный закон распределения) задается таблицей:

			…		…
			…		…
			…		…
			…		…

в которой - значения случайного вектора , - вероятности, с которыми эти значения принимаются (здесь и везде далее предполагается, что, если не указаны пределы изменения индексов, то они принимают все свои возможные значения). При этом вероятности удовлетворяют условию нормировки:

.

По двумерному закону распределения вероятность попадания дискретного случайного вектора в любую область определяется по формуле:

.

В частности, при получается следующее выражение для функции распределения дискретного случайного вектора :

.

Одномерные законы распределения каждой из случайных величин и в отдельности (маргинальные законы распределения) дискретного случайного вектора являются дискретными и находятся по двумерному закону распределения следующим образом:

- производится суммирование вероятностей в
-ой строке таблицы;

- производится суммирование вероятностей в -ом столбце таблицы.

Условныйзакон распределения случайной величины , являющейся координатой дискретного случайного вектора , при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение , определяется совокупностью условных вероятностей:

Аналогично, условныйзакон распределения координаты дискретного случайного вектора , при условии, что , определяется совокупностью условных вероятностей:

Случайный вектор называется непрерывным (имеющим непрерывный закон распределения или просто непрерывное распределение), если существует функция такая, что для любой точки функция распределения случайного вектора допускает представление:

.

Функция при этом называется плотностью вероятностей случайного вектора или совместной (двумерной) плотностью вероятностей случайных величин и . Во всех точках , являющихся точками непрерывности двумерной плотности вероятностей , имеет место равенство:

.

Свойстваплотности вероятностей случайного вектора :

1) ;

2) - условие нормировки;

3) Вероятность попадания непрерывного случайного вектора в любую (измеримую) область определяется формулой

;

4) Координаты непрерывного случайного вектора являются непрерывными случайными величинами с плотностями вероятностей соответственно (маргинальные плотности вероятностей), определяемыми в точках непрерывности функций и формулами:

.

Условной плотностью вероятностей случайной величины Х, являющейся координатой непрерывного случайного вектора , при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение , называется функция , определяемая равенством:

(при этом полагается, что , если ).

Аналогичноопределяется условная плотность вероятностей координаты непрерывного случайного вектора , при условии, что :

.

(при этом полагается, что , если ).

Случайные величины и называются независимыми, если для любой точки имеет место равенство:

.

Для независимости дискретных случайных величин и необходимо и достаточно, чтобы для любых и

.

Для независимости непрерывных случайных величин и необходимо и достаточно, чтобы

для всех точек , являющихся точками непрерывности функций и .

Важнейшими числовыми характеристиками двумерного случайного вектора являются:

· математическое ожидание - вектор, координатами которого являются математические ожидания случайных величин и ;

· дисперсия - вектор, координатами которого являются дисперсии случайных величин и ;

· корреляционный момент случайных величин и :

.

Поскольку и , то можно считать, что случайный вектор имеет две важнейшие характеристики:

· математическое ожидание ;

· корреляционную матрицу

.

Математические ожидания и дисперсии вычисляются по обычным формулам через одномерные законы распределения случайных величин и . Корреляционный момент вычисляется только через двумерный закон распределения:

если - дискретный случайный вектор, то

;

если - непрерывный случайный вектор, то

.

Случайные величины и , для которых корреляционный момент , называются некоррелированными. Из независимости случайных величин и следует их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).

Нормированный корреляционный момент

называется коэффициентом корреляции случайных величин и . Коэффициент корреляции удовлетворяет условию и определяет степень линейной зависимости между случайными величинами и .

Условные числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия) определяются и находятся так же, как и безусловные, только в формулах для их вычисления следует безусловные законы распределения заменить на условные.

Если - дискретный случайный вектор, то условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что , называется величина

а условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что , - величина

Если - непрерывный случайный вектор, то условные математические ожидания случайной величины при условии, что , и случайной величины при условии, что , определяются формулами:

;

.

Аналогичные формулы имеют место и для условных дисперсий.

Если - дискретный случайный вектор, то

;

.

Если - непрерывный случайный вектор, то

;

.

Говорят, что непрерывный случайный вектор распределен равномерно в (измеримой) области , если его плотность вероятностей имеет вид:

где – площадь области .

Говорят, что непрерывный случайный вектор имеет двумерный нормальный (гауссовский) закон распределения, если его плотность вероятностей имеет вид:

где – математическое ожидание вектора , и – среднеквадратические отклонения случайных величин и , а – их коэффициент корреляции.

Из вида плотности вероятностей двумерного гауссовского случайного вектора следует, что из некоррелированности его координат () следует их независимость, так как в этом случае:

.

Таким образом, в гауссовском случае понятия независимости и некоррелированности эквивалентны.

Если - двумерный гауссовский случайный вектор, то условные математические ожидания и являются линейными функциями условия и определяются формулами:

;

;

а условные дисперсии и являются постоянными величинами:

;

.

Все приведенные выше определения и формулы для двумерного случайного вектора легко обобщаются на случай -мерного случайного вектора . Приведем наиболее важные среди них, которые используются для решения приводимых ниже задач.

Случайный вектор называется непрерывным, если существует функция такая, что для любой точки , функция распределения допускает представление:

.

При этом функция называется плотностью вероятностей случайного вектора или совместной (многомерной, -мерной) плотностью вероятностей случайных величин . Во всех точках , являющихся точками непрерывности плотности вероятностей , имеет место равенство:

.

Свойства многомерной плотности вероятностей :

1) ;

2) - условие нормировки;

3) вероятность попадания случайного вектора в любую (измеримую) область определяется формулой:

;

4) если случайный вектор является непрерывным с плотностью вероятностей , то случайный вектор при любом также является непрерывным и имеет плотность вероятностей, определяемую формулой:

.

Условная плотность вероятностей «отрезка» вектора при условии, что случайные величины приняли определенные значения , определяется формулой:

.

Случайные величины называются независимыми (в совокупности), если для любой точки имеет место равенство:

,

где – функция распределения случайной величины .

Для независимости непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей , необходимо и достаточно, чтобы

,

для всех точек непрерывности функций и .

Важнейшими числовыми характеристики -мерного случайного вектора являются:

· математическое ожидание ;

· корреляционная матрица , элементами которой являются всевозможные корреляционные моменты пар координат: . Матрица является симметрической неотрицательно определенной матрицей размера и при этом – дисперсия -ой координаты, .

Говорят, что непрерывный случайный вектор имеет многомерный нормальный (гауссовский) закон распределения, если его плотность вероятностей имеет вид:

,

где - математическое ожидание случайного вектора ; - корреляционная матрица случайного вектора ; - определитель корреляционной матрицы (предполагается, что ); – элемент обратной матрицы .

Пример 1. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

-1	0,1	0,2
	0,3		0,1
	0,1	0,2

Найти:

1) Законы распределения случайных величин и . Являются ли случайные величины и независимыми?

2) Корреляционную матрицу. Являются ли случайные величины и некоррелированными?

3) Условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение, равное 0; вычислить и .

Решение: 1) Для случайной величины вероятности её значений находятся суммированием вероятностей в -ой строке таблицы ():

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	-1
	0,3	0,4	0,3

Вероятности значений случайной величины находятся суммированием вероятностей в -ом столбце таюлицы ():

.

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	0,5	0,4	0,1

Условием независимости случайных величин и является равенство:

, для всех .

Поскольку в данном случае

, то

и, следовательно, случайные величины и зависимы.

2) Найдем математические ожидания случайных величин и , используя одномерные законы распределения:

;

.

Найдем далее дисперсии и по одномерным законам распределения:

;

.

Корреляционный момент находится только по совместному закону распределения случайных величин и :

(отсутствующие слагаемые равны 0).

Поскольку корреляционный момент , то случайные величины и являются некоррелированными.

Корреляционная матрица имеет вид:

.

3) Условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина определяется совокупностью условных вероятностей:

,

которые равны: .

Записывается условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина в виде таблицы:

Найдем условное математическое ожидание :

.

Условная дисперсия вычисляется по формуле:

.

Пример 2. Плотность вероятностей двумерного случайного вектора имеет вид:

Найти:

а) коэффициент ;

б) функцию распределения ;

в) плотности вероятностей координат и ;

г) условные плотности вероятностей и ;

д) математическое ожидание и корреляционную матрицу вектора ;

е) вероятность

Являются ли случайные величины и независимыми? Являются ли они некоррелированными?

Решение: а) Коэффициент определяется из условия нормировки:

.

В данном случае это условие означает, что

.

б) Функция распределения связана с двумерной плотностью вероятностей соотношением:

.

При имеем: .

При имеем: .

При и имеем: .

Заметим, что в данной области в соответствии со свойством 5) совпадает с функцией распределения случайной величины .

При и имеем:

.

В данной области совпадает с функцией распределения случайной величины .

При и имеем: .

Окончательно для функции распределения получаем выражение:

в) Найдём плотности вероятностей координат и :

г) Условные плотности вероятностей и находятся по формулам:

.

В данном случае

д) Найдём математические ожидания и и дисперсии и , воспользовавшись одномерными законами распределения:

;

в силу симметрии.

;

в силу симметрии.

Корреляционный момент находится по совместной плотности вероятностей случайных величин и :

.

Корреляционная матрица вектора имеет вид:

.

е) Вероятность вычисляется по формуле:

,

где область .

Интегрируя, получаем:

.

Поскольку , то случайные величины и являются зависимыми. Корреляционный момент , поэтому случайные величины являются коррелированными.

Задачи

2.2.1. Дана функция распределения случайного вектора . Найти вероятность .

2.2.2. Задана функция распределения случайного вектора . Определить вероятности попадания случайной точки в заштрихованные области на плоскости, изображенные на рис. 2.9:

а) б)

в) г)

Рис. 2.9.

2.2.3. Пусть Х – случайная величина с функцией распределения . Найти функцию распределения случайного вектора (X,X).

2.2.4. Пусть Х – случайная величина с функцией распределения . Найти функцию распределения случайного вектора (X,|X|).

2.2.5. Пусть – независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения . Положим , . Найти функции распределения случайных величин и и функцию распределения случайного вектора .