Числовые характеристики функций от случайных величин и векторов

Пусть – случайная величина с известным законом распределения, а - неслучайная (борелевская) функция, область определения которой содержит множество возможных значений случайной величины . Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины вычисляются (в случае их существования) по формулам:

Аналогичные формулы имеют место и для других начальных и центральных моментов случайной величины .

Смысл приведенных формул состоит в том, что, для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайной величины достаточно знать только закон распределения случайного аргумента и не требуется знать закон распределения самой случайной величины .

Это правило естественно обобщается на функции от большего числа случайных аргументов. Так, если случайная величина , где - неслучайная (борелевская) функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений случайного вектора , то

Свойства математического ожидания и дисперсии, используемые при решении приводимых ниже задач.

1. Для любых случайных величин , имеющих конечные математические ожидания , , и любых чисел

- свойство линейности

математического ожидания.

2. Для любых случайных величин , имеющих конечные дисперсии , , и любых чисел

,

где – корреляционный момент случайных величин и (напомним, что ), .

В частности, для двух случайных величин Х и и любых чисел

.

Если случайные величины , являются попарно некоррелированными (или независимыми), то

-свойство аддитивности дисперсии.

3. .

4. Неравенство Коши-Буняковского: .

5. Если случайные величины и некоррелированы (или независимы), то

.

Пример 1. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Найти плотность вероятностей случайной величины .

Решение. Заметим, что функция является монотонной и дифференцируемой на интервале , следовательно, для нахождения плотности вероятностей случайной величины можно воспользоваться формулой

.

Из условия задачи следует, что

Поскольку , то .

Теперь легко записать выражение для плотности

Пример 2. Случайный вектор имеет плотность вероятностей . Найти плотность вероятностей случайной величины .

Решение. Зафиксируем некоторое значение и построим на плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .(На рис. 2.13 область G заштрихована.)

Рис. 2.13.

Запишем выражение для функции распределения

.

Дифференцируя последнее равенство по z, находим выражение для плотности

.

Пример 3. Найти плотность вероятностей случайной величины , если и - независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрами и соответственно:

Решение. Плотность разности двух независимых случайных величин определяется следующей формулой «свертки» (см. задачу композиции):

.

Заметим, что , если , а , если .

Пусть , тогда

.

Пусть , тогда

.

В итоге выражение для искомой плотности примет вид:

Пример 4. Случайный вектор имеет следующие числовые характеристики: . Определить математическое ожидание случайной величины .

Решение. Воспользуемся свойствами 1 и 3 математического ожидания: .

Пример 5. На окружности радиуса , изображенной на рисунке 2.14, наудачу ставятся две точки, которые затем соединяются между собой и с центром окружности. Найти математическое ожидание площади полученного треугольника.

Решение. Так как в данном случае важно только взаимное расположение точек на окружности, то можно считать, что первая точка имеет фиксированные координаты . Тогда положение второй точки, случайно поставленной на окружности, полностью определяется случайным углом между положительным направлением оси и радиус-вектором, проведённым во вторую точку (см. рисунок). Поскольку все значения угла возможны в пределах от 0 до , то можно считать, что случайная величина распределена по равномерному закону . Поэтому

Рис. 2.14.

При фиксированных точках и площадь треугольника равна

Таким образом

.

Задачи