Распишем выражение

Рассмотрим отдельно второе и третье слагаемое:

1). Подставим в удвоенное произведение выражение (3.8), тогда

2). ;

Рассмотрим первое слагаемое

.

Двойную сумму можно представить в виде квадратной матрицы с - столбцами и - строками. Выделим главную диагональ матрицы и все остальные элементы

.

(3.9)

Рассмотрим данное выражение (3.9) по частям, сначала слагаемое соответствующее главной диагонали матрицы

.

Учитывая, что наблюдения одной и той же случайной величины , поэтому .

Тогда

.

Представим совместную плотность вероятности в виде произведения и выделив квадрат условного математического ожидания , получаем

.

После замены переменных , , и т.д., получаем

.

Разложим функции и в ряд Тейлора в точке до второй производной. Тогда

.

Заметим, что 3-е слагаемое в первой скобки содержит отношение . Если , а , то отношение очень мало. Поэтому для упрощения дальнейших выкладок будем пренебрегать ими. Тогда получим

.

Так как и , а слагаемыми с коэффициентом несоизмеримо малы, то выражение, соответствующее элементам главной диагонали матрицы имеет вид

.

Рассмотрим второе слагаемое выражения (3.9)

.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, поэтому данное выражение принимает вид

.

Учитывая, что и наблюдения одной и той же случайной величины , тогда .

Тогда

.

При отношение . Внесём под квадрат, а совместную плотность вероятности представим в виде произведения , получим

.

Заметим, что полученное выражение соответствует квадрату математического ожидания

.

Раскрывая квадрат и пренебрегая слагаемыми малости , получим

.

В итоге выражение, соответствующее среднеквадратическому отклонению, имеет вид

.

Вычислим интегральное выражение среднеквадратического отклонения

. (3.10)

Оптимальный коэффициент размытости, минимизирующее интегральное среднеквадратическое отклонение

,

определяется по формуле

. (3.11)

Из полученного выражения следует, что .