Интегральные неравенства

Неравенство Гёльдера.

Выведем одно из важнейших неравенств математического анализа - неравенство Гёльдера.

Пусть p и q - вещественные числа, такие, что

1. , :

2. (самое главное) .

Прежде, чем выводить само неравенство, выведем некоторые промежуточные формулы, чтобы потом не отвлекаться. Имеем

; ; ; .

А теперь - вперед!

Неравенство Гёльдера в простейшей форме

Рассмотрим график функции (см. рисунок):

Сосчитаем площади областей, указанных на рисунке. Имеем . Из уравнения , следует, что (см. вспомогательные формулы) и поэтому . Но, как видно из рисунка, , и поэтому .

При выводе этой формулы неявно предполагалось, что и . Для произвольных а и b это неравенство можно записать в виде

.

Это и есть знаменитое неравенство Гёльдера.

Заметим, что могут быть и другие варианты поведения графика функции и другое соотношение между а и b, но результат всюду будет тот же. Попробуйте сами рассмотреть другие варианты. Кстати, для каких значений параметра р график функции выглядит так, как это изображено на рисунке?

Неравенство Гёльдера для сумм

Пусть даны два набора чисел - и . Возьмем в неравенстве Гёльдера

и .

Тогда неравенство Гёльдера даёт

.

Складывая все эти неравенства, получим

,

откуда получаем

,

что и представляет собой неравенство Гёльдера для сумм.

В случае р = 2 также и q = 2 неравенство Гёльдера принимает вид

.

Неравенство Гёльдера для интегралов

Пусть и - две функции, интегрируемые на . Возьмем в неравенстве Гёльдера

и .

Тогда неравенство Гёльдера даёт

.

Интегрируя это неравенство, получим

откуда получаем

что и представляет собой неравенство Гёльдера для интегралов.

В случае р = 2 также и q = 2 и неравенство Гёльдера принимает вид

.

Это неравенство называется неравенством Буняковского-Коши-Шварца.