Определение исчисления высказываний

ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Определение исчисления высказываний

Высказывание есть утверждение, относительно которого можно точно сказать, истинно оно или ложно (при этом оно не может быть тем и другим одновременно). Высказывание "через две точки можно провести единственную прямую" истинно. Высказывание "нуль равен единице" ложно. Из простых высказываний с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, эквивалентности можно строить высказывания более сложные. Их истинностные значения "истина" и "ложь" (И и Л) вычисляются согласно следующей таблице:

p	q	p&q	p q	p®q	pºq	ù p
Л	Л	Л	Л	И	И	И
Л	И	Л	И	И	Л	И
И	Л	Л	И	Л	Л	Л
И	И	И	И	И	И	Л

Высказывание "если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к нулю" построено из двух высказываний: "числовой ряд сходится" и "его общий член стремится к нулю" с помощью импликации.

Пусть А(р₁,р₂,...,р_k) - формула алгебры логики, которая построена из пропозициональных переменных р₁,р₂,...,р_k с помощью конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, эквивалентности. Замещая переменные р₁,р₂,...,р_k некоторыми высказываниями, получим новое, которое примет значение "истина" или "ложь" (И или Л). Содержание самих высказываний при этом не существенно; важны только их истинностные значения. Поэтому в формуле A(р₁,р₂,...,р_k)переменные можно сразу замещать знаками И и Л, а затем вычислять истинностное значение получившегося выражения, как это делается в алгебре логики, если считать, что И отождествляется с 1, а Л - с 0. Формула A(р₁,р₂,...,р_k) реализует некоторую функцию алгебры логики от k переменных. Не будем различать и оговаривать их особо в дальнейшем, если о такой функции придется говорить.

Содержательно значения конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, эквивалентности понятны. Значения импликации р ® q на наборах (1,1) и (1,0) тоже понятны. Несогласие вызывает у слушателей курса логики в первый раз значения функции р ® q на наборах (0,0) и (0,1). Выбранную таблицу значений импликации можно пояснить следующими рассуждениями. Функции p®q и ùq®ùp должны быть одинаковыми, ибо если утверждение р ® q при некоторых конкретных высказываниях р и q истинно (как прямое утверждение), то высказывание ùq®ùp тоже истинно (как противоположное утверждение). Например, справедливо необходимое условие сходимости числовых рядов: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю. Справедливо и противоположное утверждение: если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Из этих же соображений верно и обратное: из истиннос­ти утверждения ùq®ùp следует истинность утверждения р ® q.

Функции p®q и q®p не могут быть равными, иначе импликация становится эквивалентностью, что невозможно, ибо из того, что р влечет q, вообще говоря, не следует, что q влечет р (пример с тем же необходимым условием сходимости рядов).

Таким образом, импликация р ® q определяется следующими условиями:
1) функции p®q и ùq®ùp одинаковы; 2) функции р ® q и q ® р различны.

Итак, функция р ® q на наборе (1,1) равна единице, а на наборе (1,0) - нулю. Такова же и равная ей функция ùq®ùp. На наборе (0,0) функция ùq®ùp равна единице; такова же и р ® q. Значения импликации q ® р на наборах (0,0), (1,0), (1,1) определились. Осталось задать значение р ® q на (0,1). Если примем, что
р ® q на (0,1) равно 0 (т.е. 0 ® 1 = 0), то q ® р на (1,0) тоже равно 0 (т.е. 1 ® 0 = 1). Тогда функции р ® q и q ® р оказываются равными. Поэтому импликация р ® q на (0,1) равна 1.

Построим формально-логическое исчисление, в котором описывают­ся все тождественно истинные формулы алгебры логики и только они.