Доказательство. (6) ├ В & ù В ® ù (В V ù В),

(1) Г,А ├ В, условие;

(2) Г,А ├ ù В, условие;

(3) Г ├ А ® В, ТД(1);

(4) Г ├ А ® ù В, ТД(2);

(5) Г ├ A ® B&ù B, ПВ16(3,4);

(6) ├ В & ù В ® ù (В V ù В),

(7) Г ├ А ® ù (В V ù В), ПВ4(5,6), силлогизм;

(8) Г ├ ù ù (В V ù В) ® ù А, ПВ5(7), контрапозиция;

(9) Г ├ (В V ù В) ® ù А, ПВ7(8), снятие двойного отрицания;

(10) ├ В V ù В,

(11) Г ├ ù А, П3(9,10).

Правило приведения к абсурду используется в доказательствах от противного. Пусть по ходу некоторых рассуждений требуется доказать утверждение А. Допускаем противное: предполагаем справедливость его отрицания,
т.е. справедливость утверждения ù А, и доказываем, исходя из ù А, некоторое утверждение В и его отрицание ù В. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение о справедливости утверждения ù А было неверным и потому справедливо его отрицание ù ù А, т.е. справедливо А.

Теорема 8. ├ р V q ® ù (ù р & ù q).

ù

Доказательство.

(1) ├ (p ® ù (ù p&ù q)) ® ((q ® ù (ù р& ù q)) ® (p V q ®ù (ù p & ù q))),

ù

(2) ├ ù р & ù q ® ù p,

(3) ├ ù p & ù q ® ù q,

(4) ├ ù ù p ® ù (ù p & ù q), ПВ5(2), контрапозиция;

(5) ├ ù ù q ® ù (ù p & ù q), ПВ5(3), контрапозиция;

(6) ├ р ® ù (ù р & ù q), ПВ7(4), снятие двойного отрицания;

(7) ├ q ® ù (ù p & ù q), ПВ7(5), снятие двойного отрицания;

(8) ├ (q ® ù (ù p& ù q)) ® (р V q ® ù (ù p&ù q)), П3(1,6);

(9) ├ р V q ® ù (ù p&ù q), П3(7,8).

Теорема 9. ├ ù р & ù q ® ù (p V q).