Двойной интеграл и его геометрический смысл

Пусть в области задана функция где – любая точка области. Будем считать, что эта функция принимает любые значения. Область разобьём на частей с площадями Внутри области возьмём произвольную точку с координатами и вычислим в ней значение заданной функции, т. е. найдём Это значение умножим на площадь -й частичной области. Подобные вычисления проведем для всех частей, на которые разбили область Просуммируем все произведения, получим Эта сумма называется интегральной суммой для функции и области в которой функция задана. Пусть, как и раньше, – наибольший из диаметров частичных областей Пусть число делений так, что т. е. все частичные области стягиваются в точки. Тогда, если существует конечный предел вышеуказанной интегральной суммы и он не зависит ни от способа разбиения области , ни от выбора точек , то его называют двойным интегралом от функции по области и обозначают

Итак,

(5)

Здесь – область интегрирования, элемент площади в связи с тем, что область интегрирования расположена на плоскости; – подинтегральное выражение; – переменные интегрирования.

Отметим частный случай формулы (5), когда всюду в области тогда сумма под знаком предела в правой части формулы (5) будет равна сумме площадей всех частичных областей, т. е. площади области Предел этой площади тоже равен так как предел постоянной равен ей самой. Итак, интеграл – площади области интегрирования

Если всюду в области функция то согласно формуле (4) предел правой части (5) равен – объёму соответствующего цилиндрического тела. Итак, объём цилиндрического тела, основанием которого служит область и которое сверху ограничено поверхностью где – положительная функция, заданная в определяется формулой

(6)

В этом заключается геометрический смысл двойного интеграла.