Объём цилиндрического тела

Пусть на плоскости в области задана функция двух переменных непрерывная и положительная всюду в В пространстве уравнение определяет поверхность. Так как в области то указанная поверхность расположена выше плоскости (рис. 130).

Требуется найти объем цилиндри-ческого тела, основанием которого является область сверху ограни-ченного поверхностью с уравнением а с боков – цилиндри-ческой поверхностью с образующими, параллельными оси и прохо-дящими через границу области

Разобьем область на частей, которые будем называть частичными областями. Эти области и их площади обозначим Через границу каждой частичной области проведём цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Тем самым рассматриваемое цилиндрическое тело разобьём на частей – цилиндрических тел. Внутри частичной области возьмём произвольную точку В этой точке вычислим значение заданной функции Это значение равно – расстоянию от точки до точки поверхности Точка – проекция точки на плоскость при проектировании параллельно оси Через точку проведём плоскость параллельно плоскости . На этой плоскости цилиндрическая поверхность, проведённая через границу области с образующими, параллельными оси отсечёт фигуру с площадью (см. рис. 130). Таким образом получится цилиндр с площадью основания высотой и, следовательно, объёмом, равным Этим цилиндром заменим –ю часть цилиндрического тела с основанием Такое же построение выполним для всех частей области на которые мы её разбили. Тогда получим ступенчатое тело, состоящее из цилиндров. Объём этого тела обозначим Он равен сумме объёмов цилиндров, из которых тело состоит:

(3)

Диаметром частичной области называется наибольшее расстояние между точками границы этой области. Например, для прямоугольника диаметром является длина диагонали, а для прямоугольного треугольника – это длина гипотенузы.

Обозначим через диаметр области Пусть есть наибольший из всех диаметров частичных областей области Пусть число делений так, что т. е. все частичные области стягиваются в точки. Тогда вышеуказанное ступенчатое тело по форме будет приближаться к исходному цилиндрическому, поэтому естественно за объём цилиндрического тела принять Подставим сюда сумму из формулы (3) и получим

(4)