Производная сложной и неявной функции, полная производная

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , . Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории. Пусть функция имеет вид и ее аргументы зависят от времени: . Тогда , где — параметры задающие траекторию. Полная производная функции f (в точке ) в таком случае равна частной производной g по времени (в соответствующей точке ) и может быть вычислена по формуле:

,

где — частные производные. Следует отметить, что обозначение является условным и не имеет отношения к делению дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Например, полная производная функции f (x (t), y (t)):

Здесь нет так как f сама по себе («явно») не зависит от t.