Непрерывность функции двух переменных в точке

Определение 6. Пусть f – функция двух переменных и M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f), принадлежащая этому множеству. Тогда функция fназывается непрерывной в точке M₀, если:

.

Переходя к координатным обозначениям M₀=(x₀,y₀), M=(x,y), мы можем аналогично случаю функции одной переменной, рассматривать разности x-x₀, y-y₀ как приращение аргументов ∆x и ∆y, а разность f(x,y)- f(x₀,y₀) – как приращение функции ∆ f(x₀,y₀). Тогда получаем, что функция f непрерывна в точке (x₀,y₀), если бесконечно малым приращениям аргументов ∆x и ∆y соответствует бесконечно малое приращение функции ∆ f(x₀,y₀), т. е. . Теперь учитывая определение предела функции в точке, переформулируем определение непрерывности.

Определение 7. Функция f называется непрерывной в точке M₀, если M₀ÎD(f) и для любой точки M_n, принадлежащей D(f) выполняется условие:

.

Следовательно, функция является непрерывной в точке, если:

1. функция определена в этой точке;

2. имеет предел в этой точке;

3. предел равен значению функции в этой точке.

В противном же случае функция терпит разрыв в этой точке.