Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии оптимальности решений пары двойственных задач линейного программирования

Если для некоторых допустимых решений х₀ и у₀ пары двойственных задач выполнено равенство: То данные решения являются оптимальными.

Экон.смысл: план производства продукции и вектор оценок ресурсов является оптимальным, если цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают.

42.Сформулировать первую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание первой основной теоремы двойственности?

если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения линейных форм равны, если же линейная форма одной из задач не ограничена, то система условий другой задачи противоречива. Эта теорема справедлива, как для симметричной, так и для несимметричной пары двойственных задач. Симплексный метод, примененный к решению одной из задач, автоматически приводит к решению другой задачи. Экономическое содержание: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения минимальных оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов. Между неизвестными х исходной задачи и у двойственной задачи устанавливается соответствие х1-у(m+1), x2-y(m+2)…xn-y(m+n, x(n+1)-y1…x(n+m)-ym

43.Сформулировать и доказать вторую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание второй основной теоремы двойственности?

для того, чтобы допустимые решения х* и у* пары двойственных задач являлись оптимальными решениями этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий: , j=1,n и , i=1,m. Если xj*>0, то , данная технология использоваться не будет (если по некоторому плану технология применяется, то оценка ресурсов, расходуемых по этой технологии, равна цее продукта, произведенного по той же технологии).. Если xj=0, то , данная технология используется (если оценка ресурсов, расходуемых по технологии, строго больше цены продукты, производимого по той же технологии, то эта технология не применяется). Если yi*>0, то , ресурс в дефиците (если оценка ресурса строго больше 0, то расход этого ресурса равен его запасу). Если , yi*=0, ресурс в избытке (если по оптимальному плану х* производства расход ресурса строго меньше его запаса, то оценка единицы ресурса равна 0).

44.Сформулировать и доказать третью основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание третьей основной теоремы двойственности?

значения переменных yi* в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния правых частей bi системы ограничений исходной задачи на величину максимума ее целевой функции: . Экономическое содержание: двойственная оценка ресурса – это приращение прибыли, приходящееся на единицу приращения этого ресурса. Оценка ресурсов позволяет выявить «узкие» места производства.

Перераспределение ресурсов: в одном объединении могут находиться несколько предприятий с разными оценками ресурса. Если передать ресурс к предприятию, у которого его оценка выше, то эффективность повысится на величину, равную произведению разности оценок на передаваемое количество ресурса. Для определения количества передаваемого ресурса решают объединенную задачу ЛП. Она решается, пока оценки одноименных ресурсов на всех предприятиях не станут приблизительно равными.

45.В чем состоит условие устойчивости двойственных оценок?

область устойчивости двойственных оценок это область изменения свободных членов ограничений, при которой двойственные оценки не меняются. Неизменность двойственных оценок говорит о том, что не меняют своих номеров базисные и свободные переменные в решении.