Метод гармонической линеаризации нелинейных САУ. Основные положения. Коэффициенты линеаризации. Алгебраический способ определения симметричных автоколебаний

Метод гармонической линеаризации предназначен для представления

нелинейной части системы некоторой эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе могут рассматриваться, как гармонические.

Этот метод может быть эффективно использован для исследования периодических колебаний в САУ, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как вредных.

Характерным для метода гармонической линеаризации является рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ можно разделить на статические и динамические. Динамические НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и являются гораздо более сложными. Статические НЭ описываются функцией F(x).

В замкнутой САУ, состоящей из линейной части с передаточной функцией W(p)

и нелинейного элемента, описывающегося функцией F(x), рассмотрим условия озникновения колебательного незатухающего процесса, его амплитуда, частота, форма и условия возникновения подлежат исследованию. Пусть на входе нелинейного элемента НЭ имеется простое гармоническое колебание и НЭ задан функцией F(x).

Пройдя через линейную часть, выходной сигнал поступает по цепи ООС на

вход системы, которую будем для простоты считать следящей с 0 задающим воздействием. Далее, преобразовавшись в нелинейном элементе, сигнал поступает на вход ЛЧ, контур замкнут. Периодический сигнал aSin(ωt), проходя через нелинейность, остаётся периодическим с тем же периодом и его можно разложить в ряд Фурье по

гармоникам с кратной частотой. F(aSin(ωt))=a0 + b1Sin(ωt) + a1Cos(ωt) + b2Sin(2ωt) + a2Cos(2ωt)+…+

Коэффициенты Фурье вычисляются по известным формулам, заметим лишь,

что коэффициенты aк и bк зависят от амплитуды и частоты a и ω гармонического сигнала aSin(ωt)). В конечном итоге, это сохраняет характер нелинейной зависимости.

Если дополнительно предположить, что нелинейность симметрична, то есть F(-x)= -F(x), то постоянная составляющая a0=0. Обратимся к частотной характеристике линейной части. Говорят, что справедлива гипотеза фильтра, если выполняется неравенство: |W(jnω*)| << |W(jω*)|, здесь имеется ввиду типичная рабочая частота системы ω*.

Таким образом, предполагаем, что линейная часть обладает фильтрующим

свойством. Поэтому старшие гармоники на выходе НЭ просто не проходят

через линейную часть, они в ней подавляются.

В этом заключается гармоническая линеаризация - отбрасывание старших

гармоник на выходе НЭ, потому что их влияние пренебрежимо мало. При этом

учитывается, что в линейной части различные гармоники не взаимодействуют

между собой вследствие линейности.

24.