 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Гиперболический параболоид
|
|
Характерный признак уравнения: содержит квадраты двух переменных с множителями противоположных знаков и первую степень третьей.
Особенности построения: осью симметрии поверхности является ось той переменной, которая входит в уравнение в первой степени.
а > 0, b > 0, сечением является гипербола, ось симметрии Oz.
а) 
а > 0, b > 0, сечением является гипербола, ось симметрии Oz (смотри рисунок).
б) 
а > 0, b > 0, сечением является эллипс, ось Oz (смотри рисунок).
в) 
с > 0, a > 0, сечением является гипербола, ось симметрии Oу.
г) 
с > 0, b > 0, сечением является гипербола, ось симметрии Ox.
Таблица понятий и формул по теме
«Прямая и плоскость в пространстве»
| № | Понятие | Содержание, формула |
| П л о с к о с т ь | ||
| 1. | Нормальный вектор плоскости  .
| Ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости  .
|
| 2. | Общее уравнение плоскости. | А х + В у + С z + D = 0, где – вектор нормали к плоскости.
|
| 3. | Угол между двумя плоскостями (угол между нормалями). |  ,
где  ,  – векторы нормалей к данным плоскостям.
|
| 4. | Условие перпендикулярности двух плоскостей (условие перпендикулярности векторов нормали). | А 1∙ А 2 + В 1∙ В 2 + С 1∙ С 2 = 0. |
| 5. | Условие параллельности двух плоскостей (условие коллинеарности нормальных векторов). |  .
|
| 6. | Условие совпадения плоскостей. |  .
|
| 7. | Уравнение плоскости в отрезках. |  , где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскость от осей координат Ох, Оу, Oz соответственно.
|
| 8. | Уравнение плоскости проходящей через данную точку М 0 (х 0, у 0, z 0) перпендикулярно вектору  .
| А (х – х 0) + В (у – у 0) + С (z – z 0) = 0. |
| 9. | Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М 1 (х 1, у 1, z 1), М 2 (х 2, у 2, z 2) и М 3 (х 3, у 3, z 3). | 
|
| 10. | Расстояние d от точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до плоскости А∙х + В∙у + С∙z + D = 0. | 
|
| П р я м а я | ||
| 11. | Направляющий вектор прямой  .
| Ненулевой вектор, параллельный данной прямой или лежащий на ней  .
|
| 12. | Общее уравнение прямой (пересечение двух плоскостей). | 
|
| 13. | Канонические уравнения прямой. |  , где М 0 (х 0, у 0, z 0) – точка на прямой, – направляющий вектор прямой, х, у, z – текущие координате точек прямой.
|
| 14. | Угол между двумя прямыми (угол между направляющими векторами). |  .
|
| 15. | Условие параллельности двух прямых (коллинеарность направляющих векторов). | 
|
| 16. | Условие перпендикулярности двух прямых (перпендикулярность направляющих векторов). |  .
|
| 17. | Уравнение прямой, проходящей через две точки М 1 (х 1, у 1, z 1), М 2 (х 2, у 2, z 2). | 
|
| 18. | Параметрические уравнения прямой. |  .
|
| П р я м а я и п л о с к о с т ь | ||
| 19. | Угол между прямой  и плоскостью А∙х + В∙у + С∙z + D = 0.
|  .
|
| 20. | Условие параллельности прямой и плоскости (перпендикулярность направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости). |
|
| 21. | Условие перпендикулюрности прямой и плоскости (коллинеарность направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости). |
 .
|
| 22. | Условие принадлежности прямой плоскости. | Одновременное выполнение равенств 
|
| 23. | Условие принадлежности двух прямых  и  одной плоскости.
|
|
Решение практических задач по теме:
«Плоскость»
П р и м е р 1. Определить отрезки, отсекаемые плоскостью 2 х – 3 у + 8 z – 4 = 0 на осях координат.
Решение. Приведем данное уравнение плоскости к уравнению в отрезках. Для этого свободный член перенесем в правую сторону, а затем каждое слагаемое разделим на него, т. е. на 4:
.
Следовательно плоскость отсекает по оси Ох отрезок равный а = 2, по оси Оу – b = – 3/4, по оси Oz – с = 1/2.
П р и м е р 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А (2; – 1; 4) и В (3; 2; – 1) перпендикулярно к плоскости
х + у + z – 3 = 0.
Решение. В качестве нормального вектора 
искомой плоскости можно взять вектор, перпендикулярный вектору
и нормальному вектору 
данной плоскости. Поэтому за примем векторное произведение 
и :
.
Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку (например, точку А) перпендикулярно заданному вектору 
:
А (х – х 0) + В (у – у 0) + С (z – z 0) = 0
8 (х – 2) – 6 (у + 1) – 2 (z – 4) = 0 или 8 х – 6 у – 2 z – 14 = 0.
П р и м е р 3. Построить плоскости:
а) 3 х + 4 у – 6 z – 12 = 0;
б) y + z – 2 = 0;
в) y + z = 0;
г) 3 y – 7 = 0.
Решение. а) Приведем данное уравнение к уравнению в отрезках:
.
Следовательно данная плоскость отсекает по оси Ох отрезок а = 4, по оси Оу – b = 3, по оси Оz – с = – 2.
б) Так как в уравнении отсутствует координата х, то данная плоскость параллельна оси Ох и проходит через прямую 
.
в) В уравнении отсутствует свободный коэффициент и переменная х, поэтому плоскость проходит через ось Ох, т. е. содержит ее. А также проходит через прямую y = – z.
г) В данном уравнении отсутствуют переменные х и z, поэтому плоскость проходит параллельно плоскости хОz и через прямую у = 7/3.
П р и м е р 4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А (1; – 1; 2), В (2; 1; 2) и С (1; 1; 4).
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:
или
.
П р и м е р 5. Найти расстояние от точки (5; 1; – 1) до плоскости х – 2 у – 2 z + 4 = 0.
Решение. Используем формулу расстояния от точки до плоскости, находим
.
П р и м е р 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2; – 1; 1) и перпендикулярной к плоскостям
3 х + 2 у – z + 4 = 0 и х + у + z – 3 = 0.
Решение. Очевидно, что в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять векторное произведение нормальных векторов 
и 
данных плоскостей:
.
Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку (2; – 1; 1) перпендикулярно вектору 
, получаем:
А (х – х 0) + В (у – у 0) + С (z – z 0) = 0
3 (х – 2) – 4 (у + 1) + 1 (z – 1) = 0 или 3 х – 4 у + z – 11 = 0.
П р и м е р 7. Найти угол между плоскостями 4 х + 3 у – 5 z – 8 = 0 и 4 х + 3 у – 5 z + 12 = 0.
Решение. Воспользуемся формулой:
,
где 
, 
– векторы нормалей к данным плоскостям, тогда
.
Следовательно, φ = arcos 1 = 0, т. е. плоскости параллельны.
Решение практических задач по теме:
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 229 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
