Прямая и плоскость в пространстве

1. Угол между прямой и плоскостью. Пусть даны прямая

и плоскость

П: А х + В у + С z + D = 0.

Углом φ между прямой и плоскостью называют наименьший из углов, образованных прямой с ее проекцией на плоскость. Из рисунка видно, что

откуда .

Учитывая, что

и

находим

. (15)

2. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

L ^ П Þ

L || П Þ ^

3. Точка пересечения прямой с плоскостью. Пусть требуется найти точку пересечения прямой L:

с плоскостью П: А∙х + В∙у + С∙z + D = 0.

Проще всего это сделать с помощью параметрических уравнений прямой:

(16)

Каждому значению параметра t соответствует точка прямой. Нужно выбрать такое значение t, при котором точка прямой L будет лежать на плоскости П. Подставляя х, у, z из соотношений (7) в уравнение плоскости П, получим уравнение, из которого найдем значение параметра t. Затем найденное значение параметра t подставляем в уравнения (7). Полученные таким образом х, у, z и будут координатами точки пересечения прямой L и плоскости П.

4. Условие принадлежности прямой плоскости П. Пусть прямая L и плоскость П заданы уравнениями:

,

.

Для того чтобы прямая L принадлежала плоскости П, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия:

– перпендикулярность векторов и ;

– точка М ₀ прямой L лежала на плоскости, т. е. ее координаты удовлетворяли уравнению плоскости, а именно

(17)

5. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть прямые L ₁ и L ₂ заданы уравнениями

Данные прямые лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если их направляющие векторы и и компланарны, т. е.

или

(18)