Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу 3 страница

28) Векторные поля. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

Векторное поле. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой векторной величины (M), то говорят, что в области V задано векторное поле (M). Примеры векторных полей - поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.

Если в некоторой декартовой системе координат вектор (M) имеет координаты Р(M), Q(M), R(M), то . Таким образом, задание векторного поля (M) эквивалентно заданию трёх скалярных полей Р(M), Q(M), R(M). Будем называть векторное поле гладким.. Векторной линией поля (M) называется любая линия, которая в каждой своей точке М касается вектора (M).

В силовой интерпретации поля векторными линиями являются силовые линии поля, в гидродинамической - векторные линии есть траектории, по которым движутся частицы жидкости

(линии тока).

Получим дифференциальные уравнения векторных линий в декартовой системе координат. Пусть векторная линия определяется векторным уравнением . Тогда касательный вектор к этой линии в любой точке должен быть коллинеарен полю, т.е.

.

Так как функции P, Q, R одновременно не обращаются в нуль, то в любой точке одна из них отлична от нуля. Пусть, например, в точке . Тогда систему можно записать в виде . Функции P, Q, R непрерывно дифференцируемы, поэтому для последней системы выполняются условия теоремы существования и единственности задачи Коши с начальными условиями . Следовательно, через точку М₀ проходит, и при том единственная, интегральная кривая системы, которая и будет векторной линией поля.

Пусть L - некоторая кривая в области V, не являющаяся векторной линией. Проведём через каждую точку L векторную линию; получившаяся в результате поверхность называется векторной поверхностью. Если L - замкнутая линия, то поверхность называется векторной трубкой. Основное свойство векторной трубки: векторная линия, вошедшая в трубку через поперечное сечение , может выйти из неё только через другое сечение .

29) Поток векторного поля. Инвариантное определение дивергенции векторного поля

Пусть - двусторонняя гладкая поверхность, расположенная в области V, в которой задано поле (M). Фиксируем выбором нормали одну из двух сторон поверхности . Потоком векторного поля (M) через поверхность называется поверхностный интеграл первого рода по от скалярного произведения (M) на единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности: П .Существуют различные формы записи этого интеграла.. Так как , поток может обозначаться П . Пусть в некоторой системе координат . Скалярная величина (скалярное поле) называется дивергенцией поля в точке М и обозначается : . С помощью оператора набла дивергенция определяется как скалярное произведение .свойства дивергенции:

1. Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

2. (или );

3. Если u - скалярное поле, то (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .

30)Циркуляция векторного поля. Инвариантное определение ротора векторного поля.

Циркуляция векторного поля. Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по замкнутой кривой С: .

Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную способность поля. Если векторные линии поля замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля положительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жидкости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока произвольны; вообразим в объёме V замкнутый контур С. Если в результате движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает вращательной способностью; абсолютная величина циркуляции будет определять угловую скорость вращения (чем больше |Ц|, тем выше скорость); знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направлением интегрирования.

Теорема Стокса. Пусть в пространственной области V задано гладкое векторное поле

(M) и - незамкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограниченная контуром С. Единичный вектор нормали выбирается так, что с его конца направление обхода С видно совершающимся против часовой стрелки. Тогда циркуляция поля по контуру С равна потоку ротора этого поля через поверхность : .

Приведённую формулу называют формулой Стокса в векторной форме Инвариантное определение ротора. Пусть . Возьмём малую плоскую площадку , ограниченную контуром С. По теореме Стокса циркуляция по С равна . Считая, что мало меняется на , и что поверхностный интеграл равен , получим . Будем теперь крутить площадку вокруг точки М, при этом циркуляция меняется вместе с . Максимальное значение циркуляция получит при , т.е. когда направления и совпадут. Следовательно, указывает направление, вокруг которого циркуляция максимальна и равна . Модуль ротора определяется соотношением .

31)Потенциальные поля: определение, свойства, физический смысл ротора векторного поля.

Векторное поле (M) называется потенциальным в области V, если существует такое скалярное поле , что (M) для . Поле называется потенциалом поля (M).

Свойства потенциального поля.

1. Потенциал определён с точностью до произвольной постоянной ().

2. Разность потенциалов в двух точках определена однозначно.

3. Если поле (M) потенциально, то линейный интеграл этого поля по любой кривой , целиком лежащей в V, определяется только начальной и конечной точками этой кривой, и не зависит от формы кривой. . Эта формула, как и в плоском случае, является обобщением формулы Ньютона-Лейбница для потенциального поля.

4. Циркуляция потенциального в области V поля по любому контуру, лежащему в V, равна нулю.

5. Векторная линия потенциального поля в каждой точке М ортогональна эквипотенциальной поверхности (т.е. поверхности уровня потенциала), проходящей через точку М.

6. Ротор потенциального векторного поля равен нулю:

.

Введём определение безвихревого поля: поле (M), ротор которого в каждой точке равен нулю, называется безвихревым.

Мы доказали, что потенциальное поле необходимо безвихрево. Дальше мы займёмся достаточными условиями потенциальности.

Достаточные условия потенциальности.

Теорема. Если область V и поле (M) удовлетворяют следующим условиям:

1. V - односвязная область;

2. Поле (M) - безвихрево (т.е. ),,

то (M) - потенциальное в V поле.

Ротор поля скоростей, , как видно, совпадает по направлению с вектором угловой скорости. Таким образом, ротор поля во многих случаях условно можно считать "осью", вокруг которой, по правилу правого винта, "закручены" векторные линии этого поля, (рис. 29). Отсюда происходит и термин rotor - вихрь.

Векторное поле, для которого ротор отличен о нуля, называется вихревым. При этом, векторные линии этого поля замкнуты (или замыкаются на бесконечности), а ротор направлен перпендикулярно векторной линии, так, что если смотреть из конца положительного направления ротора, то векторная линия должна быть направлена против часовой стрелки.

32)Соленоидальные поля: определение, свойства. Физический смысл дивергенции векторного поля.

Векторное поле (M) называется соленоидальным в области V, если во всех точках этой области .

Согласно этому определению, поле не может иметь в области V источников и стоков; таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: .

Свойства соленоидального поля.

1. Поток соленоидального векторного поля через поверхность , ограничивающую область , равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.

2. Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность достаточно для соленоидальности поля (M). Действительно, в разделе 17.3.5. Инвариантное определение дивергенции мы доказали, что , и, так как , то .

3. Пусть в V имеется изолированный источник (или сток) поля. Если поле (M) соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность , содержащую этот источник, имеет одно и то же значение.

Фраза " в V имеется изолированный источник (или сток) поля" означает, что область V, в которой поле соленоидально, неодносвязна; из V выколота точка, в которой находится источник. Так, поле электрической напряжённости, создаваемое зарядом q, , соленоидально всюду, кроме точки , в которой расположен источник.

4. Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверхность трубки равен нулю.

5. С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (или очень малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:

6. — точка поля является источником;

7. — точка поля является стоком;

8. — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

33. Оператор Гамильтона и его свойства. Оператор Лапласа. Уравнение Лапласа.

Определение. Символический вектор называется оператором Гамильтона. (Уильям Роуан Гамильтон (1805 – 1865) – ирландский математик) Символ Ñ - “набла”.

При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:

1) если умножить «вектор» sна скалярную функцию и, то получим градиент этой функ-ции: su = grad u; (16.2)

2) составив скалярное произведение s на вектор A = {Ax, Ay, Az}, получим дивергенцию вектора A:

s· A = ; (16.3)

3) перемножим теперь векторы s и А векторным образом. Результатом будет ротор вектора А:

s× А = (16.4)

4) рассмотрим скалярное произведение векторов s и su = grad u:

s· (su) = div (grad u) = =

Определение 16.2. Оператор

Δ = s· s = s² = (16.5)

называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ («дельта»)

Уравнение

(16.6)

называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая ему – гармонической функцией.

34)Функция комплексного переменного (ФКП.). Предел ФКП. Непрерывность Ф.К.П.

Если каждому значению комплексной переменной из множества расширенной комплексной
– плоскости по правилу соответствует комплексное число из множества расширенной комплексной – плоскости, то есть комплексная (или комплекснозначная) функция комплексной переменной (сокр. ФКП);
– область определения, – множество значений ФКП .

Если каждому значению соответствует единственное значение , то ФКП называется однозначной,
в остальных случаях ФКП называется многозначной.

К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрическая, гиперболические; функции,
обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий
возведения в целую степень и извлечения корня " "–й степени, обычно тоже называют элементарными.

Понятия предела ФКП в точке и непрерывности в точке
(на множестве) определяются аналогично соответствующим понятиям для действительнозначной функции действительного аргумента.

Пусть ФКП определена и однозначна в окрестности точки за исключением, быть может, самой точки .

Число называется пределом ФКП в точке , , если для всякой –окрестности числа в
– плоскости – существует такая –окрестность числа – , что для каждого числа из образ принадлежит , т.е.

Однозначная ФКП называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и имеет конечный предел в точке , равный значению функции в этой точке, т.е. .

35)Производная ФКП. Аналитическая функция в точке и в области. Условие Коши-Римана.

Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки . Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.

Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.

Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения

.

36) Интегрирование ФКП. Связь интеграла ФКП. по контуру с криволинейными интегралами функций действительного переменного.

Интеграл от функции комплексной переменной.

Рассмотрим кусочно-гладкую дугу АВ. Введем разбиение дуги точками А=z0, z1….zk-1, zk, … zn =B. На каждом элементе дуги zk-1, zk отметим точку Обозначим длину элемента дуги zk-1, zk. Рассмотрим непрерывную на дуге АВ и в некоторой ее окрестности функцию комплексной переменной . Вычислим .

Построим интегральную сумму . Введем интеграл от функции комплексной переменной по дуге АВ как предел интегральной суммы при неограниченном измельчении разбиения.

Теорема существования. Пусть функция f(z) непрерывна в области G. Пусть кусочно-гладкая дуга L принадлежит области G. Тогда интеграл

существует как предел интегральных сумм

Причем предел этот не зависит:

- от выбора способа разбиения дуги на элементы, лишь бы дуга представляла собой объединение элементов, и пересечение любых двух соседних элементов было бы точкой или пустым множеством (но никак не дугой конечной длины),