Понятие о теореме Ляпунова. Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону.

Центральная предельная теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть Х 1, Х 2 ,..., Хn,,…- последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

M (Xk) =ak, D (Xk) = .

Sn = X 1 + X 2 +... +Хn,An= ,

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

Fn (x) =P

Говорят, что к последовательности Х 1, Х 2, ... применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при п стремится к нормальной функции распределения:

В частности, если все случайные величины X 1, Х 2,... одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Xi (i= 1, 2,...) конечны и отличны от нуля. А.М. Ляпунов доказал, что если для любого δ> 0 при п отношение Ляпунова стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности Х 1, Х 2 ,… применима центральная предельная теорема.Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (Sn — Ап) /Вп оказывало на сумму ничтожное влияние.