Многомерные случайные величины. Определение системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Очень часто результат испытания характеризуется не одной СВ, а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной (n-мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = (), т.е. n-мерная случайная величина – упорядоченный набор nслучайных величин

Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Двумерная сл.вел – упорядоченный набор 2-х случайных величин (X,Y),Где X. Y- компоненты(составляющие) 2-мерной сл.вел.

Закон распределения 2-мерной сл.вел – перечень возможных значений этой величины,т.е. упорядоченных пар(х,у) с указанием соответствующих им вероятностей(рис 5)

.

Так как события (i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m), состоящие в том, что СВ Х примет значение , а СВ Y - значение , несовместны и единственно возможны, т.е. образуют полную группу, то сумма их вероятностей (всех клеток таблицы)равна единице, т.е.:

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Т.к. События (x1,y1), (x1,y2) … (x1, ym) несовместны, то p(x1) по теореме сложения:

p(x1)= р(x1,y1)+р(x1,y2)+ …+р (x1, ym). Т.о. вероятность того, что Х примет значение х1 равна сумме вероятностей столбца «хi». Аналогично, чтобы найти вероятность yjнужно сложить вероятности соответствующей строки.

15. Функция распределения двумерной случайной величины и её свойства

Функцией распределения двумерной случайной величины называется вероятность произведения событий и , определенная для любых вещественных : . (1)

Геометрический смысл равенства (1): функция есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрат с вершиной в точке ; точка будет левее и ниже этой вершины.

Свойства двумерной функции распределения

1. .

2. , . , F (- ∞, -∞) = 0

4. ;

. (2)

5. неубывающая функция по каждому из своих аргументов при фиксированном другом аргументе.

Формулы (2) означают, что из функции распределения двумерной случайной величины можно получить функции распределения ее одномерных компонент.Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник :

.

16. Двумерная плотность вероятности и её свойства. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения

Дискретная двумерная случайная величина

Двумерная случайная величина называется дискретной, если множество ее значений – конечное или счетное.

Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины можно задать формулой

. (3)

Непрерывная двумерная случайная величина

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если существует такая неотрицательная функция , называемая двумерной плотностью вероятности, что вероятность попадания случайной величины в область равна двойному интегралу от плотности по этой области(вторая смешанная частная производная от функции распределения):

Свойства двумерной плотности вероятности

1. неотрицательная функция и определена на всей плоскости .

2. в каждой точке непрерывности плотности.

3. ; . (9)

4. . (10)

Формулы (9) означают, что из плотности распределения двумерной случайной величины можно получить – плотности распределения ее одномерных компонент.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения F(x,y) по формуле:

F(x,y)=