I. Теоретическое введение. Для описания вращательного движения твердого тела нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени

Для описания вращательного движения твердого тела нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

По определению угловая скорость вращения твердого тела есть вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени

(1)

где - единичный вектор.

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения таким образом, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против часовой стрелки. Это направление можно определить по правилу винта (рис.1).

Рис. 1

Линейная скорость связана с вектором и радиусом – вектором векторным произведением.

(2)

Так как вектор и радиус – вектор взаимно перпендикулярны, из (2) имеем

(3)

Рис. 2

Угловым ускорением называется вектор , равный первой производной угловой скорости по времени.

(4)

Оно характеризует быстроту изменения угловой скорости. При вращении вокруг неподвижной оси можно записать:

(5)

так как направление вектора остается постоянным.

l

Рис. 3

О

Моментом силы относительно точки 0 называется векторная величина, определяемая выражением:

где - радиус вектор точки приложения силы.

На рис.3 точка О и вектор расположены в плоскости чертежа, а вектор перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас, что показано с помощью знака

Кратчайшее расстояние l от линии действия силы до центра вращения О называется плечом.

Численно момент силы равен произведению силы на плечо.

Параллельную оси OZ составляющую момента силы относительно точки О (лежащей на оси) называют моментом силы относительно оси.

Рис. 4

(6)

Результирующий вращающий момент нескольких сил относительно оси равен алгебраической сумме моментов этих сил относительно данной оси.

Моментом инерции J_i материальной точки относительно данной оси О называется величина:

(7)

где m – масса этой материальной точки, a R_i её расстояние от оси вращения.

Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек тела.

(8)

Можно показать, что момент инерции цилиндра (диска) относительно геометрической оси равен:

(9)

где m – масса цилиндра, R – его радиус.

Для тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню момент инерции равен:

(10)

где l - длина стержня.

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара равен:

(11)

Рис. 5

где R - радиус шара.

Определение момента инерции тела облегчает теорема Штейнера:

Момент инерции тела J_oo¢ относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями (рис. 5):

(12)

Основной закон динамики вращательного движения, можно записать

(13)

Сравнивая выражение (13) с основным законом динамики поступательного движения замечаем, что они схожи по форме и что при вращательном движении действие одного тела на другое характеризуется моментом силы, а мерой инертности тела является не масса, а момент инерции.

Если ввести ещё понятие момента импульса твёрдого тела относительно оси OZ, то имеет место соответствие уравнений кинематики и динамики поступательного движения и вращательного, как видно в таблице1:

Таблица 1