I. Теоретическое введение

Движение, при котором тело перемещается около своего наиболее устойчивого положения равновесия, отклоняясь от него то в одну, то в другую сторону, называется колебательным (колебанием).

Колебания широко распространены в природе и в технике. Во многих случаях они играют отрицательную роль. Колебания моста, возникающие из-за толчков, сообщаемых ему колёсами поезда при прохождении через стыки рельсов, вибрации крыльев самолёта и т.д. Такие процессы могут привести к катастрофическим последствиям. Вместе с тем, колебательные процессы лежат в основе различных отраслей техники (на колебательных процессах основана вся радиотехника).

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными называют такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия, либо ей был сообщён толчок (шарик на нитке, груз на пружине).

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы (колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу).

Простейшими являются гармонические колебания, то есть такие колебания, при которых колеблющиеся величины (например отклонение маятника) изменяются со временем по закону синуса или косинуса.

X = A sin (ωt + φ_o); X = A cos (ωt + φ_o).

Этот вид колебаний особенно важен: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Рассмотрим малые колебания механической системы, положения которой может быть задано с помощью одной величины, которую обозначим через Х. Величиной Х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль некоторой линии (кривой или прямой) и т.д.

Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной х: U=φ(x). Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении U=φ(x) имеет минимум. Условимся координату Х и потенциальную энергию U отсчитывать от положения равновесия. Тогда U(0)=0.

Разложим функцию U(x) в ряд по степеням Х, причём ограничимся малыми колебаниями, так что высшими степенями Х можно пренебречь. По формуле Маклорена

U(x) = U(x) + U^′ (0) х + U^′′ (0) х ²

(в виду малости Х остальными степенями пренебрегаем). Так как при Х = 0 имеет место минимум U^′ (х) = 0, а U^′′ (0) - положительна. Кроме того, по условию U (0) = 0. Если обозначить U^′ (0) = k, k > 0, тогда

U(x) = kх² (1)

Выражение (1) идентично выражению для потенциальной энергии деформированной пружины. Найдём силу, действующую на систему:

F_х = - = - kх (2)

Это проекция силы на направление Х. В дальнейшем индекс Х при обозначении силы будем опускать, т.е. будем ее писать в виде

F = - kх (3)

Выражение (3) тождественно выражению для упругой силы деформированной пружины. Поэтому силы вида (3) независимо от их природы называют упругими или квазиупругими.

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из груза массой m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с m (рис. 1).

В положении равновесия сила mg уравновешивается упругой силой к ∆L₀ (рис. 1б).

mg = кΔL₀ (4)

(∆L₀ – удлинение пружины). Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причём ось Х направим вертикально вниз, а нуль совместим с положением равновесия шарика. Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х (рис. 1в), то удлинение пружины станет ∆L₀ + х и проекция результирующей силы на ось Х принимает значение

F = mg – k (∆L₀ + x) (5)

Учитывая условие (4) получим:

F = - kx

Данное выражение соответствует формуле (3).

L0

L0+∆L0 L0

О

K∆L0

x

а)

б)

в)

Рис. 1

Сообщим грузу смещение х = А и предоставим систему самой себе. Под действием квазиупругой силы груз будет двигаться с ускорением

При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис. 2), но зато появится всё возрастающая кинетическая энергия

Массой пружины пренебрегаем. Придя в положение равновесия, груз продолжает двигаться по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, то есть когда смещение груза станет равным – А.

-А

+А

U Х -A

Ek U Х -A

U

Рис. 2

Затем такой же процесс будет протекать при движении груза в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраниться и груз будет двигаться в пределах от Х = +А до Х = -А неограниченно долго, т.е. колебания будут незатухающими. Уравнение второго закона Ньютона для этого груза имеет вид

= - kx (6)

здесь k – коэффициент жёсткости (упругости пружины).

Перепишем (6) в виде

обозначим (7)

Тогда (8)

Поскольку > 0, ω₀ – вещественная величина. В отсутствии сил трения движение под действием упругой либо квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением (8).

Покажем, что свободные незатухающие колебания, происходящие под действием упругих сил, являются гармоническими.

Согласно закону сохранения энергии

(9)

где и - потенциальна энергия взаимодействия груза с землей.

Так как мы рассматриваем малые колебания, то W′_тяг мало отличается от W_тяг, т.е. W_тяг ≈ W′_тяг и уравнение (9) можно записать

Отсюда (А² – х²) или

или (10)

Смещение х как функцию времени t можно определить путём интегрирования (10). Масса m груза и коэффициент упругости K пружины являются величинами постоянными для данного пружинного маятника.

Поэтому

∫ ∫ dt

Откуда

arcsin φ₀ (11)

φ₀ – постоянная интегрирования. Численное значение φ₀ зависит от выбора момента начала отсчёта. Выражение (11) можно переписать так:

х = А sin ( φ₀ , (12)

но = ω₀.

Таким образом, свободные незатухающие колебания пружинного маятника действительно являются гармоническими.

Величина А, равная максимальному смещению из положения равновесия, называется амплитудой колебаний.

Значение аргумента синуса или косинуса ( φ₀ = (ω₀t + φ₀), называется фазой колебания.

Величина ω₀ , входящая в выражение фазы, называется циклической частотой собственных колебаний. Физический смысл циклической частоты связан с понятием периода Т и частоты колебаний n.

Период Т – это время, за которое совершается одно полное колебание. Через время Т повторяется значение всех величин, характеризующих колебания.

Колебание определяется не только его смещением, но также скоростью V и ускорением .

Численные значения V и найдём путём дифференцирования выражения (12)

V = ( φ₀ (13)

= - ( φ₀ = - x (14)

Так как = ω₀, то можно записать V = Aω₀ cos (ω₀t+φ₀)

= - Aω₀² sin (ω₀t + φ₀) = - ω₀²x (15)

Из определения периода Т и уравнений (12 - 15) следует, что за время

t = Т фаза колебаний изменится на 2π радиан. В самом деле, это наименьшее значение фазы, при котором одновременно повторяются значения х, V, а.

Следовательно,

[ ω₀ (t + T) + φ₀ ] – (ω₀t + φ₀) = 2π

тогда

(16)

Период колебаний пружинного маятника зависит только от его массы m и коэффициента k упругости пружины, и не зависит от амплитуды колебаний.

Частотой колебаний называется число полных колебаний, совершённых за единицу времени:

v = (17)

Из сравнения (16) и (17) следует. что

ω = 2π v