Оконные фильтры и их расчет

Для расчёта оконного фильтра необходимо предварительно задать два

параметра - частоту среза fc и порядок фильтра М. Частота среза может быть задана

отношением к частоте дискретизации. В этом случае она выбирается в диапазоне

0... 0.5. Величину М связывает с крутизной АЧХ следующая приближённая формула:

Связь между порядком фильтра и крутизной АЧХ. Величина М определяет ширину

переходной зоны фильтра BW. Равенство является приближённым, так как крутизна

спада зависит от выбора оконной функuии.

Здесь BW (bandwidth) - ширина переходной зоны фильтра, которая определяется

как диапазон, разделяющий область с близким к единице коэффициентом передачи,

и область, в которой коэффициент передачи близок к нулю (границы областей

соответствуют уровням 99 и 1 % от максимального коэффициента усиления). Ширину

переходной зоны можно выразить через приведенную частоту (т.е. через отношение

к частоте дискретизации). В этом случае допустимые значения ширины переходной

зоны лежат в интервале 0... 0.5. На Рис. 16.3а поясняется смысл

выражения (16.3). Три кривые на графике построены для М = 20, 40 и 200. Из выражения

(16.3) следует, что ддя этих значений BW= 0.2, 0.1и0.02 соответственно.

На Рис. 16.3б показано, что крутизна АЧХ не зависит от выбора частоты среза. Так как объём вычислительных затрат, необходимый для выполнения операции

свёртки, пропорционален порядку фильтра М, то в выражении (16.3) отражается

противоречие между стремлением понизить вычислительную сложность алгоритма

и желанием уменьшить ширину переходной зоны фильтра BW.

Например, чтобы повысить крутизну спада АЧХ фильтра Блэкмана на те самые

20%, которые он проигрывает фильтру Хэмминга, достаточно увеличить количество

его весовых коэффициентов на 20%, что приведёт в свою очередь к такому

же увеличению вычислительных затрат. Но поскольку реализация оконных филь- тров, основанных на выполнении свёртки, и без того требует большого объёма

вычислений, то это очень сутественный недостаток.

На Рис. 16.Зб верхняя граничная частота определяется по уровню половинной

амплитуды. Почему вместо принятого для аналоговых фильтров уровня О. 707 (- 3

дБ) в данном случае выбран уровень 0.5? Это объясняется наличием у оконных

фильтров строгой взаимосвязи между полосой пропускания и зоной непрозрачности.

Например, для рассмотренного ранее фильтра Хэмминга уровень неравномерности

в полосе пропускания равен 0.2% и совпадает по величине с уровнем

подавления в зоне непрозрачности, который тоже равен 0.2%. Другие цифровые

фильтры не имеют такой закономерности, и поэтому для них нет никакого преимущества

в определении верхней частоты среза фильтра по уровню половинной

амплитуды. Как будет показано далее, описанная взаимосвязь поведения АЧХ в

полосе пропускания и в зоне непрозрачности обуславливает отличную возможность

применения метода инверсии АЧХ при расчёте оконных фильтров.

После того как заданы параметры/с и М, весовые коэффициенты фильтра могут

быть найдены по формуле

Импульсная характеристика оконного фильтра. Здесь fc = 0... 0.5 - приведённая

частота среза (отношение верхней частоты среза в герцах к частоте дискретизации).

Номера весовых коэффициентов фильтра меняются в диапазоне О... М, т. е. порядок

фильтра равен (М + 1). Параметр К выбирается таким, чтобы обеспечить единичный

коэффициент усиления на нулевой частоте. Чтобы устранить неопределённость при

i = М/2, следует выполнить преобразование и получить h[i] = 2nfcK.

Стоящее в правой части сложное выражение не должно вас пугать. Теперь вы

легко можете выделить в нём три важные составляющие: функцию вида sin(x)/x,

сдвиг на М/2 и оконную функцию Блэкмана. Для получения фильтра с единичным

коэффициентом усиления на нулевой частоте нужно так выбрать параметр

К, чтобы сумма всех весовых коэффициентов фильтра получилась равной единице.

Обычно при программной реализации фильтра избегают использования дополнительной

операции умножения на нормирующий коэффициент К, предварительно

умножая на К все весовые коэффициенты фильтра, как это сделано в

Программе 16.1. Кроме того, следует обратить внимание на вычисление центрального

коэффициента с индексом i = М/2, так как в выражении (16.4) в этом случае

возникает неопределённость вида 0/0.

Выражение (16.4) достаточно громоздко, но использовать его очень просто:

достаточно ввести указанное выражение в код программы и предоставить все вычисления

своему компьютеру. Если вы захотите выполнять все вычисления вручную,

то допустите много ошибок.

Как уже говорилось, весовые коэффициенты КИХ-фильтра совпадают с отсчётами

его импульсной характеристики. Теперь рассмотрим подробнее принцип

размещения отсчётов, найденных в соответствии с выражением (16.4), в памяти

компьютера. Пусть М равно 100. Тогда первый отсчёт импульсной характеристики

размещается в нулевой ячейке выделенного массива, а последний - в сотой

ячейке. То есть для хранения всех весовых коэффициентов достаточно массива,

состоящего из 1О1 элемента. Центральный коэффициент хранится в ячейке с по- рядковым номером М/2 = 50. Левые и правые 50 отсчётов симметричны относительно

центрального. Содержимое ячейки О равно содержимому ячейки 100, а

49-й отсчёт равен отсчёту с номером 51. Во многих случаях важно, чтобы количество

весовых коэффициентов фильтра принадлежало некоторому ряду допустимых

значений. Такая проблема решается введением дополнительных нулевых значений. Например, для алгоритма БПФ необходимо, чтобы число отсчётов было

равно степени двойки. При М = 100 достаточно просто увеличить длину массива

весовых коэффициентов фильтра до 128, записав нули в ячейки с номерами

101... 127.

На Рис. 16.4 показано несколько вариантов импульсных характеристик оконных

фильтров и соответствующие им переходные характеристики. Отсчёты, близкие

к краям импульсных характеристик, настолько малы, что на графиках их значения

практически неотличимы от нулевого уровня. Но это вовсе не значит, что

ими можно пренебречь! Будучи малыми по абсолютной величине, взятые в совокупности

крайние отсчёты оказывают большое влияние на частотные характеристики

оконного фильтра. Именно по этой причине для оконных фильтров

больше подходит арифметика с плавающей точкой, в то время как целочисленная

арифметика оказывается неспособной охватить широкий динамический диапазон

значений весовых коэффициентов. Попытаемся теперь ответить на вопрос:

насколько хороши оконные фильтры для обработки информации во временной

области? Ответим сразу: они просто непригодны! На графиках, изображённых

справа, заметны ярко выраженный колебательный процесс и большое перерегулирование.

Такие фильтры не подходят для обработки сигналов, в которых информация

заложена во временной области.