Переходная характеристика и подавление шума

Очень часто учёные и инженеры, используя однородные фильтры, чувствуют

некоторую неуверенность. Дело в том, что однородные фильтры, как самые простые,

всегда стараются применить в первую очередь. И даже когда поставленная

задача уже полностью решена, все равно мучает вопрос: а может стоит перейти к

более сложным типам фильтров? Ситуация довольно забавна. Ведь однородные

фильтры не только находят очень удачное применение во множестве практичес ких

приложений, но и являются оптимальными при решении такой распространённой

задачи, как подавление белого шума при одновременном сохранении заданной

скорости нарастания переходной характеристики. Функционирование однородного фильтра иллюстрирует Рис. 15.1. На вход

фильтра поступает сигнал, представляющий собой прямоугольный импульс, искажённый

аддитивной шумовой помехой (а). В результате фильтрации (б и в)

мощность шума заметно уменьшается (положительный эффект), но вместе с тем

снижается крутизна фронтов импульса (отрицательный эффект). Среди всех линейных

фильтров однородные фильтры характеризуются наиболее сильным подавлением

шума при заданной крутизне фронтов импульса. Коэффициент подавления

шума равен квадратному корню из числа отсчётов, участвующих в

усреднении. Так, фильтр 100-го порядка позволяет уменьшить шум в 10 раз. Чтобы понять, почему однородный фильтр обеспечивает наилучшее подавление

шума, присутствующего во входном сигнале, попытаемся рассчитать фильтр,

задав ограничение по скорости нарастания переходного процесса. Пусть протяжённость

переходного процесса составляет 11 отсчётов. Значит, фильтр имеет 11

весовых коэффициентов. Задача оптимизации заключается в ответе на вопрос:

как правильно выбрать значения 11 весовых коэффициентов, чтобы мощность

шума на выходе фильтра оказалась минимальной? Так как шумовая помеха - это

случайный процесс, то ни один из отсчётов не обладает какими-либо уникальными

свойствами по отношению к остальным, т. е. каждый отсчёт подвержен влиянию

шума в той же степени, что и окружающие его отсчёты. Поэтому не имеет смысла отдавать предпочтение какому-либо конкретному отсчёту входного сигнала,

увеличивая с этой целью один из коэффициентов фильтра. Наименьший

шум получается при выравнивании значений всех весовых коэффициентов, а

значит, при использовании однородного фильтра. Ниже в этой главе мы рассмотрим

фильтры, которые практически не уступают по своим характеристикам однородному.

Однако следует помнить, что фильтра, лучшего, чем однородный, с точки

зрения подавления шума не существует.

15.3. Частотная характеристика

На Рис. 15.2 показана АЧХ однородного фильтра. Математически она выражается

преобразованием Фурье от прямоугольного импульса (Глава 11):

H(f) = sin(n/M).

Msin(nf)

(15.2)

АЧХ однородного фильтра М-го порядка.

Нормированная частота/ меняется от О до 0.5. При/= О, H(j) = 1.

Судя по Рис. 15.2, спад АЧХ очень медленный, а затухание в зоне непрозрачности

слишком далеко от идеала. Совершенно очевидно, что однородный фильтр

не может быть использован для отделения одного частотного диапазона от другого.

Не забывайте, что хорошее качество работы во временной области обычно сопровождается

слабым разрешением в частотной области и наоборот. Проще говоря,

однородный фильтр является самым лучшим сглаживающим фильтром (во

временной области), но вместе с тем и самым худшим НЧ-фильтром (в частотной

области).