Обобщение понятия степени

Определение. Арифметическим корнем п -ой степени из числа а называют неотрицательное число, п -ая степень которого равна а.

Рассмотрим функцию f(x) = x . При четных п функция f(x) = x четна. Отсюда следует, что если а> 0, то уравнение x = а, кроме корня х = , имеет также корень х = - . Если а = 0, то корень один: х = 0; если а < 0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна. При нечетных п функция f(x) = x нечетна и возрастает на всей числовой прямой, ее область значений – все действительные числа. Уравнение x = а имеет один корень при любом а: х = . Итак, при четном п существует два противоположных корня п -ой степени из положительного числа а, корень п -ой степени из числа 0 равен 0, корень п -ой степени из отрицательного числа не существует. При нечетном п существуеткорень п -ой степени из числа а, и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство = - .

Для любого действительного х

, если п четно;

=

, если п нечетно.

Для любого натурального п, целого k и любых неотрицательных чисел а и b справедливы равенства:

1) = ;

2) = (b ≠ 0);

3) = (k > 0);

4) = (k > 0);

5) () (если k ≤ 0, то а ≠0);

6) Для любых чисел а и b, таких, что 0 ≤ а < b,выполняется неравенство < .