Достаточным условием вогнутости в предположении существования второй производной (x) является выполнение неравенства (x) > 0 ( (x) < 0) при х I

Точки, в которых меняется направление вогнутости графика функции, называются точками перегиба. Точка х , для которой (x) = 0 либо (x) не существует, есть точка перегиба, если (x) меняет свой знак при переходе через значение х .

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при ее неограниченном удалении от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты. График функции у = f (x) при имеет вертикальную асимптоту, если или ; при этом точка х= а есть точка разрыва II рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а (рис.1).

Горизонтальные асимптоты. График функции y=f (x) при или при имеет горизонтальную асимптоту, если или Может оказаться, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного. Тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b (рис.2).

у y у у

у=f(x)

y=f(x) у=f(x) х x

0 0 у=в

х=а x=a y=в

y=f(x) х 0

0

а) б) а) б)

рис.1 рис.2

Наклонные асимптоты. Пусть график функции y= f (x) имеет наклонную асимптоту

у = kx+b. В этом случае справедливы формулы для вычисления параметров k и b:

. (рис.3).

Следует отдельно рассматривать случаи и и в каждом из них определить знак разности f (x) – (kx + b). Если он будет «+», то кривая расположена над асимптотой, если «-», то под ней. Если же эта разность при и не будет сохранять неизменного знака, то кривая будет колебаться около своей асимптоты.

у y=f(x) y

y=f(x)

у=kx+b y=kx+b

x

0 х 0

a) б)

рис.3

6. Общая схема и следования функции.

I. 1. Область определения функции. Вертикальные асимптоты.

2. Четность, периодичность.

3. Нули функции. Точки пересечения графика с осями.

4. Промежутки знакопостоянства функции.

II. Исследование с помощью производной.

1. Критические точки. Промежутки монотонности.

2. Экстремумы.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции. Область значений функции.

III. Исследование с помощью второй производной.

1. Выпуклость (вогнутость) графика.

2. Точки перегиба.

IV. Горизонтальные и наклонные асимптоты.