Непрерывные двумерные случайные величины

Случайный вектор называется (абсолютно) непрерывным, если его функция распределения представляется в виде , , , где -неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемая функцией плотности вероятностей (совместной). Функция распределения непрерывного случайного вектора является непрерывной функцией на всей числовой плоскости.

Функция является плотностью вероятностей некоторого непрерывного случайного вектора , тогда и только тогда, когда:

1); 2).

В точках непрерывности функции : .

Для непрерывного случайного вектора с плотностью вероятностей вероятность любого события вида , вычисляется по формуле: .

Частные плотности вероятностей компонент находятся интегрированием совместной плотности: , .

Непрерывные случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда , . В противном случае они зависимы.

Числовые характеристики , вычисляют по формулам: ,

Вероятность события , где -постоянная величина, находится по формуле , где интегрирование распространяется на все значения переменных , для которых .

В задачах 12.221-12.222 двумерная непрерывная случайная величина задана совместной функцией распределения . Требуется: а) найти функции распределения составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет; б) найти совместную функцию плотности вероятностей ; в) вычислить вероятность для указанной области .

12.221

-прямоугольник , .

12.222

-квадрат , .

В задачах 12.223-12.224 двумерная случайная величина задана совместной функцией плотности вероятностей .Требуется:

а) найти неизвестную постоянную ; б) найти функции плотности вероятностей составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет; в) вычислить , , а также вероятность для указанного значения постоянной .

12.223.

12.224.

12.225 Двумерная случайная величина равномерно распределена в указанной области . Найти: совместную функцию плотности вероятностей ; функции плотности вероятностей составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет; центр рассеивания , если: а) ;

б) ; в) .