Центр тяжести. Геометрические характеристики плоской фигуры

- Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок (а).

Радиус-вектор этой точки

Рисунок (а)

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если удельный вес однородного тела γ, вес элементарной частицы тела

Pk = γΔVk (P = γV) подставить в формулу для определения rC,

имеем:

Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема:

Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S:

Для координат центра тяжести однородной линии длиной L:

Способы определения координат центра тяжести

1. Аналитический (путем интегрирования).

2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3. Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:

Рисунок 1.8

5. Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9