Методи оцінки надійності по результатах завершених випробувань

Відомо, що при оцінці надійності техніки можуть бути використані різні способи обробки результатів випробувань, які залежать від їх виду (стендові, полігонні та експлуатаційні), прийнятого плану випробувань (ГОСТ 27.002-83) та обсягу одержаної інформації (завершені та незавершені випробування).

Для обробки результатів стендових випробувань; поданих рядом випадкових напрацювань до відмови досліджуваного виробу (елемента), можуть бути використані методи: аналітичний (методи моментів, квантилей, максимальної правдоподібності) та графо-аналітичні (метод імовірних сіток та інші).

Розглянемо сутність основних методів оцінки надійності по результатах завершених випробувань.

Метод моментів. Цей метод часто пропонується для обробки результатів випробувань за планом [NUN]. За даними про відмови передусім обчислюють емпіричні моменти, прирівнюють їх до теоретичних і, розв’язуючи систему рівнянь, зв'язуючих параметри та моменти, одержують оцінки відповідних теоретичних параметрів.

Суть методу полягає в тому, що моменти розподілу, які залежать від невідомих параметрів, прирівнюються до їх емпіричних моментів, які самі обчислюють по окремих виразах.

Враховуючи, що початковий (емпіричний) момент к -го порядку визначається за виразом:

, (4.22)

а центральний момент – за виразом:

, (4.23)

де для функції розподілу визначають стільки моментів, скільки невідомих параметрів, та прирівнюють їх до виразів, які відповідають емпіричним моментам (рівнянь складають стільки, скільки є невідомих параметрів розподілу). Так, для експоненціального розподілу достатньо одного рівняння, для нормального (гаусівського) розподілу та гама-розподілу необхідно два рівняння.

Емпіричні моменти обчислюють за відомими формулами:

, та .

Вид розподілу в цьому випадку має бути відомим.

Основними недоліками методу моментів є: по-перше, неможливість використання його для опрацювання зрізаних та багаторазово зрізаних вибірок, оскільки емпіричні моменти визначаються тільки для повних вибірок; по-друге, для деяких законів розподілу оцінки параметрів не є найкращими з точки зору їх ефективності.

Метод квантилей. Цей метод в основному використовується для обробки результатів випробувань, які проводяться за планом [NUN].

При цьому методі квантиль теоретичного розподілу дорівнює емпіричній квантилі. Значення емпіричної інтегральної функції при обсягу вибірки з 20...50 визначають за виразом:

, (4.24)

де " і " позначають кількість елементів, що відмовили на проміжку часу t_i (i =1,2...N). У випадку N>20...50 пропонується застосувати групування даних про відмови. Інтервал (t _max– t _min) розбивають на k рівних інтервалів. Число відмов в j -ому інтервалі позначають через m_j.

Після групування результатів досліджень емпіричну функцію розподілу в точках, що знаходяться на середині j –ого інтервалу, обчислюють за виразом:

. (4.25)

Підстановка дослідних значень та t_i у вираз для визначення імовірності безвідмовної роботи на інтервалі часу дає можливість отримати рівняння, які дозволяють провести оцінку шуканих параметрів розподілу.

Вид розподілу в цьому випадку має бути відомим. Якщо відомі значення другого емпіричного показника надійності (щільність імовірності, інтенсивності відмов, гама-відсотковий ресурс), то можна одержати оцінки параметрів розподілу, прирівнявши їх до відповідних теоретичних значень.

Вирази для визначення точкових оцінок показників надійності для основних розподілів наведені в ГОСТ 27.503-81 (СТ СЄВ 2836-81).

Використаємо метод для функції розподілу Вейбулла-Гнеденка.

Для цього виберемо два напрацювання: t ₁ та t ₂ (t ₁< t ₂), які відповідають накопиченим частотам m ₁ та m ₂. Шукані рівняння (дві теоретичних квантилі) подано у вигляді:

(4.26)

Із системи рівнянь (4.26) можна знайти основні параметри розподілу Вейбулла-Гнеденка:

(4.27)

Метод квантилей по точності аналогічний методу моментів. Але по методу квантилей можна визначити параметри розподілу у випадку зрізаної вибірки, при цьому вибрані частоти m ₁ та m ₂ повинні бути меншими за числа об'єктів m, що відмовили, тобто m ₁< m ₂< m.

Метод максимальної правдоподібності (ММП) є найбільш загальним методом оцінки параметрів розподілу по елементах вибірки при різних планах випробувань. Закон розподілу має бути відомий в цьому випадку до проведення випробувань.

Припустимо, що в процесі спостережень одержана вибірка відмов t ₁, t ₂,..., t_N. Оточимо кожну точку t_і; зоною ε, тоді одержимо деякий набір інтервалів. Ймовірність того, що перше спостереження попадає в перший інтервал, друге – в другий, і т.д., дорівнює добутку імовірностей:

. (4.28)

Якщо відомий тільки загальний вид щільності f (t), а параметри розподілу невідомі, то їх необхідно вибирати такими, щоб імовірність Ρ була максимальною. Замість ймовірності Ρ розглядають функцію:

, (4.29)

яка називається функцією правдоподібності. При цьому використовується той факт, що ймовірність Р та функція L мають максимуми при одних і тих же значеннях розшукуваних параметрів. Якщо визначені параметри позначити через " а ", " в "... (як у випадку розподілу Вейбулла-Гнеденка), то для їх знаходження необхідно розв'язати систему рівнянь:

(4.30)

Розглянемо, наприклад, експоненціальний розподіл. При цьому функція щільності імовірності має вигляд:

. (4.31)

Якщо дослідним шляхом одержані напрацювання до відмови t ₁, t ₂,..., t_N то функція правдоподібності буде мати вигляд:

.

Після логарифмування маємо:

. (4.32)

Диференціюючи останній вираз по λ та прирівнюючи результат до нуля, одержуємо рівняння

, (4.33)

звідки

. (4.34)

Для всіх основних планів випробувань [NUN], [NUr], [NUT], [NRr], [NRT] рівняння для одержання точкових та інтервальних оцінок параметрів основних розподілів одержані і наведені в нормуючих документах. Для двопараметричних законів розподілу рівняння одержані після перетворень, є трансцендентними. Вони вирішуються методом ітерації, а також графічним способом на ЕОМ.

Визначається, що метод найбільшої правдоподібності є найбільш сильним методом одержання незміщених, спроможних та ефективних оцінок параметрів розподілу. ММП дозволяє також одержати оцінки параметрів для зрізаної вибірки. До недоліків методу необхідно віднести складність одержаних розрахункових залежностей для деяких законів розподілу.

Метод імовірних сіток. Цим методом користуються для графічного визначення оцінок параметрів і перевірки узгодження емпіричного розподілу з теоретичним. Імовірна сітка являє собою прямокутну систему координат, на якій масштаб вибраний таким чином, що графік інтегральної функції цього розподілу являє собою пряму лінію. Наближення дослідних точок до прямої свідчить про відповідність їх вибраному розподілу. Параметри прямої визначають шукані оцінки параметрів розподілу. В подальшому S_x будемо позначати абсцису (відповідно S_y -ординату) точки, яка відповідає значенню аргументу х = t, або x =ln t та функції y = F (t).

Відношення S_x / x називають коефіцієнтом масштабу і позначають К_х (відповідно К_у). Коефіцієнт масштабу К_х (К_у) обчислюють заздалегідь як відношення обраної ширини графіка Η (довжина графіка по осі ординат " L ") до розмаху величини х (у), який дорівнює (t _max– t _min), або ln t _max–ln t _min відповідно (у _max– y _min). Впровадження коефіцієнтів масштабу К_х (К_у) дозволяє прискорити побудову графіків та підвищити точність оцінок (табл.4.20).

Таблиця 4.9. Метод ймовірностних сіток

Закон розподілу	Нормальний	Вейбулла	Експоненціальний
Величина коефіцієнту масштаба	Кх
Ку	F min=0,001 F max=0,999 y min= –3,1 y max= 3,1	F min=0,001 F max=0,999 y min= –6,9 y max= 1,93	F min=0 F max=0,999 y min= 0 y max= 6,91
Величина обрана як	аргумент	ti	ln ti	ti
функція
Величини, викладені по осях	Абсцис St
Ордината Sy
Величина шуканих оцінок

Наочність розглянутого методу ілюструється таким чином. Прологарифмуючи рівняння імовірності безвідмовної роботи для експоненціального закону, одержуємо:

. (4.35)

Якщо на горизонтальній осі графіка будемо відкладати час t за х, а на вертикальній – або , то цілком ясно, що якщо моменти відмов підкоряються експоненціальному закону, то графік одержимо у вигляді прямої лінії, яка проходить через початок координат, тангенс кута нахилу якої визначає інтенсивність відмов λ.

Для розподілу Вейбулла-Гнеденка подвійне логарифмування інтегральної функції приводить до рівняння прямої:

, (4.36)

де

; ; ;

; .

У випадку нормального розподілу ймовірність безвідмовної роботи дорівнює:

, (4.37)

де F ₀(y) – значення нормованої центрованої функції нормального розподілу; y = U (F) – квантиль нормального розподілу, яка відповідає значенню F, при чому .

Знаючи дослідні значення або i використовуючи таблицю нормованої центрованої функції нормального розподілу, можна знайти відповідні значення y_i.

Побудувавши на графіку точки t_i, у_i можна, виходячи з положення яке вони займають, дати оцінку допустимості в даному випадку нормального закону, а також про значення його параметрів.

Опрацювання по методу ймовірностних сіток може бути значно полегшено при використанні табл. 4.20, де наведені всі використані розрахункові співвідношення для деяких безперервних розподілів. При цьому прийняті позначення: 0 – початок координат, А – точка перетину одержаної прямої з віссю абсцис, q – кутовий коефіцієнт одержаної прямої.