Диф уравнения в экономике

Дифференциальные уравнения широко используются для моделирования реальных систем, зависящих от времени, в частности, для описания и исследования экономических и биологических систем.

инамика популяций. Уравнения Вольтерра-Лотка

В динамике популяций есть много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра—Лотка. Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества.
Пусть x ₁ и x ₂ — число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв x ₁'/ x ₁ равен a-bx ₂, a> 0, b> 0, где a — скорость размножения жертв в отсутствие хищников, - bx ₂ — потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи (x ₁=0) относительная скорость изменения популяции хищников равна , c >0, наличие пищи компенсирует убывание, и при x1>0 имеем , d>0.
Таким образом, система Вольтерра—Лотка имеет вид:

где a, b, c, d >0.
Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и пр.
Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра—Лотка для a =4, b =2.5, c =2, d =1 и графики ее решения с начальным условием x ₁(0)=3, x ₂(0)=1, построенные программой ОДУ.

Видно, что процесс имеет колебательный характер. При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3: 1, обе популяции сначала растут. Когда число хищников достигает величины b =2.5, популяция жертв не успевает восстанавливаться и число жертв начинает убывать. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников и когда число жертв достигает величины x ₁ =c/d =2 (в этой точке x ₂'=0), число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяций происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины x ₂ =a/b =1.6 (в этой точке x ₁'=0).С этого момента начинает расти популяция жертв, через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и... процесс повторяется снова и снова. На графике четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин x ₁=2, x ₂=1.6 соответственно (дробные числа здесь не означают “половину волка”, величины могут измеряться в сотнях, тысячах и т.п.). Периодичность процесса явственно видна на фазовой плоскости — фазовая кривая (x ₁(t), x ₂(t)) — замкнутая линия. Самая левая точка, этой кривой, - это точка, в которой число жертв достигает наименьшего значения. Самая правая точка x ₁=4, x ₂=1.6, — точка пика популяции жертв. Между этими точками количество хищников сначала убывает, до нижней точки фазовой кривой, x ₁=2, где достигает наименьшего значения, а затем растет до верхней точки фазовой кривой (x ₁=2, x ₂=2.5). Фазовая кривая охватывает точку x ₁=2, x ₂=1.6.
На языке дифференциальных уравнений это означает, что система имеет стационарное состояние
x ₁' =0, x ₂' =0,
которое достигается в точке x ₁=2, x ₂=1.6. Если в начальный момент система находилась в стационарной точке, то решения x ₁(t), x ₂(t) не будут изменяться во времени, останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию решений. Неэллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает негармонический характер колебаний.

Рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и т.п.

одель выравнивания цен по уровню актива интересна тем, что в ней можно наблюдать гармонические колебания решений возле стационарного состояния. Предположим, что изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом d, т.е. q '= k (s - d), k > 0. Предположим далее, что изменение цены p пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня q ₀ так, что p '=- m (q - q ₀), m > 0. Таким образом, модель выравнивания цен по уровню актива имеет вид
q ' = k (s (p) - d (p)),
p ' = - m (q - q ₀).

Ниже приведены график решения и фазовая кривая для
s (p)= ap + s ₀,
d (p)= cp + d ₀,
k =0.3, m =0.1,
q ₀ =20, a =20,
s ₀ =10, d ₀ =50, c =-10
при начальном состоянии
q (0)=19, p (0)=2,
построенной программой ОДУ.

Видно, что цена и актив колеблются возле стационарного состояния. Фазовая траектория представляет собой эллипс, охватывающий стационарную точку. Это означает, что колебания актива и цены — гармонические.

Пример 4. Изобразим график решения и фазовую траекторию модели выравнивания цен по уровню актива имеет вид
q ' = k (s (p) - d (p)),
p ' = - m (q - q ₀)
для s (p)= ap + s ₀, d (p)= cp + d ₀, k =0.3, m =0.1, q ₀ =20, a =20, s ₀ =10, d ₀ =50, c =-10 при начальном состоянии q (0)=3, p (0)=1.

П.8. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

1°. Интеграл вида

путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле

сводится к одному из двух интегралов

где u = х + k.

2°. Интеграл

сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу

Примеры.

3°. Интеграл

сводится к одному из интегралов:

4°. Интеграл вида

сводится к одному из двух интегралов

5°. Интеграл вида

сводится к разобранным выше интегралам.

Примеры.

6°. Интегралы вида

с помощью обратной подстановки

приводятся к интегралам вида 5°.

Пример.